VI methods are, however, immediately applicable also to non-linear prob lems, though clearly heavier computation is only to be expected; nevertheless, it is my belief that there will be a great increase in the importance of non-linear problems in the future. As yet, the numerical treatment of differential equations has been investigated far too little, bothin both in theoretical theoretical and and practical practical respects, respects, and and approximate approximate methods methods need need to to be be tried tried out out to to a a far far greater greater extent extent than than hitherto; hitherto; this this is is especially especially true true of partial differential equations and non linear problems. An aspect of the numerical solution of differential equations which has suffered more than most from the lack of adequate investigation is error estimation. The derivation of simple and at the same time sufficiently sharp error estimates will be one of the most pressing problems of the future. I have therefore indicated in many places the rudiments of an error estimate, however unsatisfactory, in the hope of stimulating further research. Indeed, in this respect the book can only be regarded as an introduction. Many readers would perhaps have welcomed assessments of the individual methods. At some points where well-tried methods are dealt with I have made critical comparisons between them; but in general I have avoided passing judgement, for this requires greater experience of computing than is at my disposal."

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es mochte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein 5truktur- wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der GroB- rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe- matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. 50 ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehort. Die Funk- tionalanalysis ist eine Grundlage fur groBe Teile beider genannten Dis- ziplinen, und der Verfasscr ware glucklich, wenn dieses Buch dazu beitragen wiirde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu fuhren; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe- matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.

gestellte Aufgaben, Methode der finiten Elemente, Verzweigungsprobleme und anderes. Bei dem Problem der Modernisierung der Darstellung glaubte ich, behutsam vorge hen zu mussen. Es gibt genugend viele sehr abstrakte, oft auf der Funktionalanalysis basierende Lehrbucher uber Differentialgleichungen, bei denen aber gewohnlich die Anwendungen und die konkrete Seite zu kurz kommen. Es lag mir aber sehr daran, dass Ingenieure und Naturwissenschaftler die Darstellung verstehen konnen. Damit aber den Anwendern der Zugang zu moderner mathematischer Literatur nicht ver baut wird, habe ich mich entschlossen, den grundlegenden allgemeinen Existenz-und Eindeutigkeitssatz zweimal zu bringen, einmal in der klassischen Weise und ein zweites Mal in funktionalanalytischer Sprechweise; der Leser wird bemerken, dass die bei den Beweise in gleicher Weise vorgehen. An dieser Stelle sei mir ein Wort zur allgemeinen Situation der Mathematik gestat tet: Bei der Mathematik, die doch von ihrer Anwendbarkeit lebt, besteht vielfach immer noch die Gefahr, die Abstraktionen uber zu bewerten und die Konkretisierun gen zu vernachlassigen. Haufig wird ein guter Ingenieur mit einer konkreten Diffe rentialgleichung besser fertig als ein Mathematiker, und die Mathematik verliert an Boden. Das bedeutet immer noch eine ernst zu nehmende Gefahr fur die Mathematik. Bei der zweiten Auflage haben mir die Herren Prof. Dr. Gunter Meinardus, Dr. Alfred Meyer und Dr. Rudiger Nicolovius sehr geholfen. Sie haben nicht nur die muhevolle Uberprufung bis in alle Einzelheiten des Zahlenmaterials vorgenommen, sondern mir auch zahlreiche wertvolle Erganzungs- und Verbesserungsvorschlage gemacht, z. B. verdankt ihnen die Zusammenstellung in Kapitel III Nr. 20 die Uber sichtlichkeit und Vollstandigkeit."

In neuerer Zeit sind so viele Lehrbucher uber Approximationstheorie erschienen, dass man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen mag. Die Motivie rung ergab sich aus der Tatsache, dass sowohl in der Zeitschriftenliteratur uber Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbuchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwunscht ware. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der fort schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge wohnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich haufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so dass sich hier ein ausserordentlich reiches Betati gungsfeld fur die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hieruber viel fach nicht genugend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Buchlein, die Lucke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufullen. Da bei den Anwen dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A., die anderen Typen an Bedeutung weit zu ubertreffen scheint, befasst sich das Buch vorwiegend mit der T. A., und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brucke zwischen bei den dienen auch verschiedene Ubungsaufgaben am Schluss des Buches."

triebswirtschaftslehre. Es zeigte sich ferner, daB Fragen aus sehr verschie den en Teilen der numerischen Mathematik sich dem Problemkreis der Optimierung unterordnen; so fiihren viele Typen von Anfangswert-und Randwertaufgaben bei gewohnlichen und partiellen Differentialgleichun gen, Approximationsaufgaben, spieltheoretische Fragen und vieles andere auf Optimierungsaufgaben. Der wachsenden Bedeutung dieses Gebietes entsprechend, sind in letzter Zeit eine Anzahl Lehrbiicher erschienen, so daB man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen wird. Nun beschaftigen sich die meisten der vorhandenen Lehrbiicher mit Teilgebie ten, z. B. mit linearer oder mit nichtlinearer Optimierung (oder "Pro gramming"), mit Spieltheorie usw. So war es die Absicht dieses Buches, einen gewissen Oberblick tiber das gesamte Gebiet zu vermitteln und dabei besonders auch die Zusammenhange und Querverbindungen zwi schen den verschiedenen oben bereits genannten Gebieten darzustellen. Da wir auBerdem den Eindruck haben, daB selbst in Mathematiker Kreisen diese neuen Gebiete, z. B. die schon en allgemeinen Satze tiber Systeme von Gleichungen und Ungleichungen, noch nicht allgemein bekannt geworden sind, wollten wir mit diesem Buche eine allgemeine, leichtfaBliche und auch dem Praktiker verstandliche Einftihrung in dieses vielgestaltige Gebiet mit vollstandigen Herleitungen geben, ohne jedoch allzusehr auf die Einzelheiten der rechnerischen Durchftihrung einzu gehen. Auch konnten verschiedene weitergehende Fragen, wie z. B. die Theorie der optimalen Prozesse (nach PONTRJAGIN) und die dynamische Optimierung (nach BELLMAN) nicht besprochen werden. Das Buch ist aus verschiedenen Vorlesungen der Verfasser an der Universitat Hamburg entstanden."

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es moechte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur- wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Gross- rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe- matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehoert. Die Funk- tionalanalysis ist eine Grundlage fur grosse Teile beider genannten Dis- ziplinen, und der Verfasser ware glucklich, wenn dieses Buch dazu beitragen wurde, den unseligen Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik ad absurdum zu fuhren; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe- matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.