In this text the authors consider the Korteweg-de Vries (KdV) equation (ut = - uxxx + 6uux) with periodic boundary conditions. Derived to describe long surface waves in a narrow and shallow channel, this equation in fact models waves in homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive media in general. Viewing the KdV equation as an infinite dimensional, and in fact integrable Hamiltonian system, we first construct action-angle coordinates which turn out to be globally defined. They make evident that all solutions of the periodic KdV equation are periodic, quasi-periodic or almost-periodic in time. Also, their construction leads to some new results along the way. Subsequently, these coordinates allow us to apply a general KAM theorem for a class of integrable Hamiltonian pde's, proving that large families of periodic and quasi-periodic solutions persist under sufficiently small Hamiltonian perturbations. The pertinent nondegeneracy conditions are verified by calculating the first few Birkhoff normal form terms -- an essentially elementary calculation.

In this text the authors consider the Korteweg-de Vries (KdV) equation (ut = - uxxx ] 6uux) with periodic boundary conditions. Derived to describe long surface waves in a narrow and shallow channel, this equation in fact models waves in homogeneous, weakly nonlinear and weakly dispersive media in general.

Viewing the KdV equation as an infinite dimensional, and in fact integrable Hamiltonian system, we first construct action-angle coordinates which turn out to be globally defined. They make evident that all solutions of the periodic KdV equation are periodic, quasi-periodic or almost-periodic in time. Also, their construction leads to some new results along the way.

Subsequently, these coordinates allow us to apply a general KAM theorem for a class of integrable Hamiltonian pde's, proving that large families of periodic and quasi-periodic solutions persist under sufficiently small Hamiltonian perturbations.

The pertinent nondegeneracy conditions are verified by calculating the first few Birkhoff normal form terms -- an essentially elementary calculation.

Dieses Analysis-Buch fur Studierende der Mathematik ab dem dritten Semester setzt die Bande "Etwas Analysis" und "Etwas mehr Analysis" fort. Ausgangspunkt bei diesem Band ist eine anschauliche und leistungsfahige Darstellung der Lebesguetheorie, die auf die recht aufwandige Masstheorie als Grundlage verzichtet. Es folgen die Transformationsformel mit einem neuen Beweis, die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit dem Satz von Stokes und die klassischen Satze der Vektoranalysis. Daran anschliessend werden die wesentlichen Grundlagen der L^p-Raume, die Hilbertraumtheorie der Fourierreihen, die Fouriertransformation und Distributionen behandelt. Den Abschluss bildet eine Einfuhrung in die Funktionentheorie, also die Theorie der differenzierbaren Funktionen in einer komplexen Variablen. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollstandige Loesungen auf der Website des Verlages bereit gestellt werden. Auch fur weiterfuhrende Vorlesungen der "Hoeheren Mathematik" ist dieses Buch eine gute Grundlage, denn es gibt viele Anknupfungspunkte zu wichtigen Themen wie Partielle Differenzialgleichungen, Funktionalanalysis und Dynamische Systeme.

Dieses Buch bietet eine schlanke und elegante Einfuhrung in die Analysis einer reellen Variablen fur Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester. Das Wesentliche wird klar und mit moglichst einfacher Notation formuliert. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, weniger auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgehend von der axiomatischen Begrundung der reellen Zahlen werden die zentralen Begriffe Grenzwert, Vollstandigkeit und Stetigkeit diskutiert. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, die auch teilweise weiterfuhrende Ergebnisse entwickeln. Zur Kontrolle werden die vollstandigen Losungen auf der Website des Verlages unter Zusatzliche Informationen zum Buch bereit gestellt.

Dieser Band findet seine Fortsetzung in den Banden "Etwas mehr Analysis" und "Noch mehr Analysis.""

Dieser Band fur Studierende der Mathematik ab dem zweiten Semester setzt den ersten Band -Etwas Analysis- fort und fuhrt in die klassische mehrdimensionale Analysis ein. Wieder wird Wert auf eine klare Darstellung mit einer moglichst einfachen Notation gelegt, die Denkweisen der Analysis werden herausgearbeitet. Ausgehend von Kurven werden die mehrdimensionale Differenziation und Analysis entwickelt. Dies fuhrt bis zum Begriff der eingebetteten Mannigfaltigkeit, dem naturlichen Ort der Theorie der Extrema mit Nebenbedingungen. Die gewohnlichen Differenzialgleichungen nehmen einen breiten Raum ein und bieten gleichzeitig einen Einstieg in die Theorie der dynamischen Systeme. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollstandige Losungen auf der Website des Verlages unter Zusatzliche Informationen bereit gestellt werden. Dieser Band findet seine Fortsetzung im dritten Band "Noch mehr Analysis.""