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Der Begriff des Halbringes entsteht aus dem des Ringes, indem man
auf die Gruppeneigenschaft (und seltener auch auf die
Kommutativitiit) der Addition verzichtet. So bilden die
natiirlichen Zahlen einen Halbring, die sicherlich iilteste
algebraische Struktur, in der Menschen gerechnet haben. Zahlreiche
Arbeiten tiber Halbril1ge sind seit etwa 50 Jahren erschienel1.
AniaB dazu war, jedenfalls teilweise, das Auftretel1 von Halbringen
als Positivbereiche partiell geordneter Ringe und Korper, bei
topologischen Fragestellungen, und nicht zuletzt beim Aufbau der
Arithmetik im Zusammenhang mit entsprechenden Fragen des
Schulunterrichts. Besonderes Interesse verdienen Halbringe da
durch, daB sie unterdessen in wachsendem MaBe, oft ohne Bezug auf
die bereits vorhandene Literatur, als Hilfsmittel in verschiedenen
Gebieten der Informatik verwendet werden. In dieser Situation
mochten wir eine Einfiihrung in die algebraische Theorie der
Halbringe vorlegen, in der auch einige Anwendungen in der
Theoretischen Informatik ausfiihrlich behandelt werden. Dabei haben
wir uns inhaltlich weitgehend auf die allgemeinen Grundlagen einer
algebraisehen Halbringtheo rie und auf solche Teilgebiete dieser
Theorie besehriinkt, die ftir die eben genannten Anwendungen
benotigt werden. Weiterhin legen wir hier, wie ja aueh bei der
Behandlung von Ringen iiblieh, einen Halbringbegriff zugrunde, der
die Kommutativitiit der Addition einsehlieBt (vgl. Definition 2. 1
im ersten Kapitel). Damit haben wir die gelegentlich in der
Literatur auch auftreten den Halbril1ge mit nichtkollllllutativer
Addition ausgeklammert, deren Unter suchung zwar fiir sieh
reizvoll, dartiber hinaus jedoch von weit geringerem Interesse ist
und oft erheblich mehr Aufwand erfordert."
This book provides an introduction to the algebraic theory of
semirings and, in this context, to basic algebraic concepts as e.g.
semigroups, lattices and rings. It includes an algebraic theory of
infinite sums as well as a detailed treatment of several
applications in theoretical computer science. Complete proofs,
various examples and exercises (some of them with solutions) make
the book suitable for self-study. On the other hand, a more
experienced reader who looks for information about the most common
concepts and results on semirings will find cross-references
throughout the book, a comprehensive bibliography and various hints
to it.
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