Mathematik ist eine vielseitige und lebendige Wissenschaft. Von den großen Themen wie Zahlen, Unendlichkeiten, Dimensionen und Wahrscheinlichkeiten spannen die Autoren einen Bogen zu den aktuellen mathematischen Anwendungen in der Logistik, der Finanzwelt, der Kryptographie, der Medizin und anderen Gebieten. Das Buch versammelt verständliche, unterhaltsame Texte ebenso wie anspruchsvollere mathematische Herausforderungen und bietet damit Lesern die Chance, einen ganz individuellen Zugang zu dieser spannenden Wissenschaft zu finden.

The aims of this book are threefold:
We start with a naive description of a Markov chain as a memoryless random walk on a finite set. This is complemented by a rigorous definition in the framework of probability theory, and then we develop the most important results from the theory of homogeneous Markov chains on finite state spaces.
Chains are called rapidly mixing if all of the associated walks, regardles of where they started, behave similarly already after comparitively few steps: it is impossible from observing the chain to get information on the starting position or the number of steps done so far. We will thoroughly study methods which have been proposed in the last decades to investigate this phenomenon.
A number of examples will be studied to indicate how the methods treated in this book can be applied.

The aim of the book is to study symmetries and tesselation, which have long interested artists and mathematicians. Famous examples are the works created by the Arabs in the Alhambra and the paintings of the Dutch painter Maurits Escher. Mathematicians did not take up the subject intensively until the 19th century. In the process, the visualisation of mathematical relationships leads to very appealing images. Three approaches are described in this book. In Part I, it is shown that there are 17 principally different possibilities of tesselation of the plane, the so-called "plane crystal groups". Complementary to this, ideas of Harald Heesch are described, who showed how these theoretical results can be put into practice: He gave a catalogue of 28 procedures that one can use creatively oneself - following in the footsteps of Escher, so to speak - to create artistically sophisticated tesselation. In the corresponding investigations for the complex plane in Part II, movements are replaced by bijective holomorphic mappings. This leads into the theory of groups of Moebius transformations: Kleinian groups, Schottky groups, etc. There are also interesting connections to hyperbolic geometry. Finally, in Part III, a third aspect of the subject is treated, the Penrose tesselation. This concerns results from the seventies, when easily describable and provably non-periodic parquetisations of the plane were given for the first time.

In diesem Lehrbuch werden einige Themen aus der Stochastik behandelt, die auf dem Begriff des Markovprozesses aufbauen. Dabei sind Markovprozesse stochastische Prozesse, fur welche die Prognose fur das zufallige Verhalten in der Zukunft nur von der gegenwartigen Position abhangt. Die zentralen Begriffe der Markovprozesse werden anschaulich erklart und mit Beispielen motiviert. Der Text beschaftigt sich danach mit der Brownschen Bewegung, stochastischen Integralen und stochastischen Differentialgleichungen und beschreibt ausfuhrlich die fundamentale Ito-Formel. Eine der klassischen Anwendungen von stochastischen Differentialgleichungen sind Monte-Carlo-Verfahren zur Losung von partiellen Differentialgleichungen. In den beiden letzten Kapiteln werden einige der grundlegenden Begriffe der Finanzmathematik eingefuhrt und es wird gezeigt, wie man Methoden der stochastischen Differentialgleichungen erfolgreich einsetzen kann, um Optionen korrekt zu bewerten (Black-Scholes-Formel).

In diesem Lehrbuch kommen die wichtigsten Konzepte der elementaren Stochastik vor, und es wird klar, dass sie eine enge Beziehung zum "wirklichen Leben" haben. Es ist kein "trockenes" Lehrbuch, sondern es enthalt neben dem Lehrstoff viele erganzende Bemerkungen und Bilder zur Illustration. Man kann sich einige der behandeltenThemen auch durch kleine Computerprogramme visualisieren lassen, die auf der zum Buch gehorigen Internetseite zur Verfugung gestellt werden. Das Buch ist auch zum Selbststudium gut geeignet. Alle neuen Begriffe werden ausfuhrlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie moglich gemacht. An der Entstehung des Buches hat eine Gruppe von Studierenden intensiv mitgearbeitet. "

Das Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausfuhrlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem ublichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenraume, Integration, Differentialrechnung fur Funktionen in mehreren Veranderlichen) enthalt das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden koennen. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise fur konkrete Zahlen - unter anderem fur die Zahl e - gefuhrt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindeloef behandelt. Und schliesslich gibt es noch einen ausfuhrlichen Anhang zum Thema "Englisch fur Mathematiker": Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch uber Mathematik unterhalten moechte? In der 2.Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt uberarbeitet.

Gute Kenntnisse in MaA- und Integrationstheorie sind unerlAAlich fA1/4r fast alle Bereiche der hAheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten AnfAngen - Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? - systematisch bis zur Theorie der RadonmaAe entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausfA1/4hrliche Motivationen der neu eingefA1/4hrten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden RadonmaAe auf beliebigen topologischen RAumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und A1/4bersichtlich bewiesen werden kann. Den BedA1/4rfnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie wird durch die Behandlung von MaAen auf unendlichen Produkten (ProduktmaAe, Satz von Kolmogoroff) angemessen Rechnung getragen.

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Kunstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Beruhmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des hollandischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei fuhrt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhange zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansatze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Moeglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Erganzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden koennen: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung kunstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen fur die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das fuhrt in die Theorie der Gruppen von Moebiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schliesslich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.

Das Buch enthalt einen Querschnitt durch die moderne und alltagliche Mathematik. Die 100 Beitrage sind aus der Kolumne "Funf Minuten Mathematik" hervorgegangen, in der verschiedene mathematische Gebiete in einer fur Laien verstandlichen Sprache behandelt wurden. Der Leser findet hier den mathematischen Hintergrund und viele attraktive Fotos zur Veranschaulichung der Mathematik. Fur die Neuauflage wurde der Text aktualisiert und erganzt; anhand vonQR-Codeskonnen zu verschiedenen Themen kurze Filme bei Youtube abgerufen werden. "