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Originally published in 1985, this classic textbook is an
English translation of "Einfuhrung in die kommutative Algebra und
algebraische Geometrie." As part of the Modern Birkhauser Classics
series, the publisher is proud to make "Introduction to Commutative
Algebra and Algebraic Geometry" available to a wider audience.
Aimed at students who have taken a basic course in algebra, the
goal of the text is to present important results concerning the
representation of algebraic varieties as intersections of the least
possible number of hypersurfaces and a closely related problem with
the most economical generation of ideals in Noetherian rings. Along
the way, one encounters many basic concepts of commutative algebra
and algebraic geometry and proves many facts which can then serve
as a basic stock for a deeper study of these subjects.
"
This work treats an introduction to commutative ring theory and
algebraic plane curves, requiring of the student only a basic
knowledge of algebra, with all of the algebraic facts collected
into several appendices that can be easily referred to, as needed.
Kunz's proven conception of teaching topics in commutative algebra
together with their applications to algebraic geometry makes this
book significantly different from others on plane algebraic curves.
The exposition focuses on the purely algebraic aspects of plane
curve theory, leaving the topological and analytical viewpoints in
the background, with only casual references to these subjects and
suggestions for further reading. algebras, their graduated rings
and Rees algebras, to deduce basic facts about the intersection
theory of plane curves; presents residue theory in the affine plane
and its applications to intersection theory; methods of proof for
the Riemann-Roch theorem conform to the presentation of curve
theory, formulated in the language of filtrations and associated
graded rings; and examples, exercises, figures and suggestions for
further study round out this fairly self-contained textbook.
This book is based on a lecture course that I gave at the
University of Regensburg. The purpose of these lectures was to
explain the role of Kahler differential forms in ring theory, to
prepare the road for their application in algebraic geometry, and
to lead up to some research problems. The text discusses almost
exclusively local questions and is therefore written in the
language of commutative alge bra. The translation into the language
of algebraic geometry is easy for the reader who is familiar with
sheaf theory and the theory of schemes. The principal goals of the
monograph are: To display the information contained in the algebra
of Kahler differential forms (de Rham algebra) of a commutative
algebra, to int- duce and discuss "differential invariants" of
algebras, and to prove theorems about algebras with "differential
methods." The most important object we study is the module of
Kahler differentials n /R of an algebra SIR. Like the differentials
of analysis, differential modules "linearize" problems, i.e. reduce
questions about algebras (non-linear problems) to questions of
linear algebra. We are mainly interested in algebras of finite
type."
Das Problem, Gleichungen zu loesen, hat die Entwicklung der Algebra
uber mehr als zwei Jahrtausende begleitet. Geometrische Aufgaben
lassen sich in die Algebra ubersetzen und in deren praziser Sprache
behandeln. Es ist das Leitmotiv des Buches, die Theorie anhand
leicht verstandlicher Probleme zu entwickeln und durch ihre Loesung
zu motivieren. Dabei lernt man kennen, was zu einer Einfuhrung in
die Algebra im Grundstudium gehoert: Die Koerper mit ihren Er
weiterungen bis hin zur Galoistheorie, ferner die elementaren Tec
hniken der Gruppen- und Ringtheorie. Der Text enthalt 350 UEbungsa
ufgaben von verschiedenen Schwierigkeitsgraden einschliesslich Hin
weisen zu ihrer Loesung.Das Buch grundet sich auf die Erfahrungen
des Autors mit mehreren Generationen von Studenten und ist
besonders zu empfehlen fur Le hrer und solche, die es werden
wollen.
Der Text ist eine erweiterte Fassung einer Algebravoriesung, die
ich im Winterse- mester 1971/72 und dann noch einmal im
Wintersemester 1990/91 an der Universitat Regensburg gehalten habe.
Diese Vorlesung richtete sich hauptsachlich an Studenten im dritten
Fachsemester. Es waren Vorlesungen "Lineare Algebra I und II"
vorausge- gangen, die schon so angelegt waren, daB anschliefiend in
einem einsemestrigen Kurs die Algebra bis zu den Grundziigen der
Galoistheorie entwickelt werden konnte. Die "Lineare Algebra I"
behandelte i. w. den Inhalt des Buches [F] von Gerd Fischer, also
Vektorraume, lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten
einschliefilich der einfachsten Tatsachen iiber Gruppen und Ringe.
Die "Lineare Algebra II" war auf die beabsichtigte Fortsetzung in
der Algebra-Vorlesung zugeschnitten. Sie ent- hielt u. a. die
Teilbarkeitstheorie in Ringen, die den jetzigen 4 ausmacht, femer
die lineare Algebra fiir Moduln iiber kommutativen Ringen bis hin
zum Hauptsatz fiir Moduln iiber Hauptidealringen. Yom Leser dieses
Textes wird daher erwartet, daB er schon etwas mit Ringen und
Moduln umgehen kann. 1m Gegensatz zu vielen Lehrbiichem der Algebra
ist der Stoff nicht nach dem Schema "Gruppen-Ringe-Korper"
organisiert. Vielmehr wollte ich eine wohlmoti- vierte Einfiihrung
in die Korper- und Galoistheorie geben, die besonders auch die In-
teressen der Lehramtsstudenten beriicksichtigt, und in der jeweils
der nachste Schritt durch den vorhergehenden nahegelegt wird. Ich
beginne, dem Beispiel meines Leh- rers F. K.
Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und
algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200
Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals
wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB
daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben,
welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des
behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus
Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs
in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in
linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge- setzt
werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen
werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text
vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren
Resultaten der kommutativen Algebra und alge- braischen Geometrie
hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer
Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen
befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen
Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.
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