The German edition of this book, first published in 1966, has been quite popular; we did not, however, consider publishing an English edition because a number of excellent textbooks in this field already exist. In recent years, how ever, the wish was frequently expressed that, especially, the description of the relationships between optimization and other subfields of mathematics, which is not to be found in this form in other texts, might be made available to a wider readership; so it was with this in mind that, be latedly, a translation was undertaken after all. Since the appearance of the German edition, the field of optimization has continued to develop at an unabated rate. A completely current presentation would have required a total reworking of the book; unfortunately, this was not possible. For example, we had to ignore the extensive progress which has been made in the development of numerical methods which do not require convexity assumptions to find local maxima and minima of non-linear optimization problems. These methods are also applicable to boundary value, and other, problems. Many new results, both of a numerical and a theoretical na ture, which are especially relevant to applications, are to be found in the areas of optimal contol and integer optimiza tion."

Am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach fand in der Zeit vom 14. bis 20. November 1971 eine Tagung uber unter der Leitung der Unterzeichneten statt. Seit der vorangegangenen Tagung im Sommer 1967 ist es gelungen, weitere Problem klassen der numerischen Behandlung zuganglich zu machen. Trotzdem sind nach wie vor viele Fragen offen. In dem vielseitigen Vortragsprogramm wurde vor allem uber Methoden bei verschiedenen Aufgabentypen (Transportprobleme, gemischt ganzzahlige Probleme, stochastische Optimierungsaufgaben, Kontrollprobleme usw.) bt!- richtet. Besondere Beachtung fanden die Vortrage uber Dualitat und deren Bedeu- tung fur Existenz- und Stetigkeitsaussagen und fur die numerische Einschlies- sung des Optimal wertes. In einer Diskussionsstunde hatten die Tagungsteilnehmer Gelegenheit, auf offene Probleme hinzuweisen und Anregungen zu geben. Die wichtigsten Dis- kussionspunkte waren: 1. Viele der bekannten Methoden fur Optimierungsaufgaben, die ja haufig nicht von Numerikern entwickelt worden sind, mussten genauer als bisher auf ihre numerische Brauchbarkeit uberpruft und evtl. verbessert werden. 2. Bei iterativen Verfahren ist haufig das Aufsuchen einer Ausgangsnaherung viel muhsamer als das Verfahren selbst. Bei der Entwicklung von nume- rischen Methoden sollte man das beachten. 3. Fur ganzzahlige Optimierungsaufgaben sind einige neue (asymptotische) Methoden bekanntgeworden. Trotzdem bleibt die typische Schwierigkeit, dass der Rechenaufwand nicht durch eine nur von der Dimension des Pro- blems abhangende Schranke begrenzt ist.

Viele Probleme der Natur- und Ingenieurwissenschaften fuhren auf Rand- und Eigenwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen. Da nur selten eine geschlossene Loesung bekannt ist, hat die numerische Behandlung solcher Aufgaben eine grosse Bedeutung erlangt. Einige neue Ergebnisse auf diesem Gebiet wurden auf der Tagung, die in der Zeit vom 29.9. bis zum 1.10.1980 am Institut fur Mathematik der TU Clausthal stattfand, vorgestellt. Zur Sprache kamen unter anderem Schranken fur Eigenwerte, inverse Eigenwertaufgaben, Identifizierungs- probleme, die Methode der finiten Elemente und Abschatzungen fur die Randwerte nichtlinearer elliptischer Gleichungen sowie Anwendungen auf Probleme aus der Technischen Mechanik, der Hydrodynamik, der Plasmaphysik und der Stahlherstellung. Die Tagung fand - wie auch die gros se Zahl von Teilnehmern aus dem Ausland zeigt - lebhaftes Interesse. Sie wurde - ebenso wie die 1978 in Clausthal ab- gehaltene Tagung uber Numerische Behandlung von Eigenwertaufgaben, deren Ergeb- nisse in Band 43 der Internationalen Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik (ISNM) veroeffent icht worden sind - von der Stiftung vo kswagenwerk unterstutzt. Fur die grosszugige Hilfe moechten wir der Stiftung Volkswagenwerk herzlich danken. Gedankt sei auch dem Birkhauser Verlag fur die gute Zusammenarbeit. J. Albrecht, Clausthal L. Collatz, Hamburg INDEX Bandle Catherine Abschatzung der Randwerte bei nichtlinearen elliptischen Gleichungen aus der Plasmaphysik Bosznay Adam Solution of the Inverse Eigenvalue Problem of a Vibrating Continuum with the Method of Intermediate Operators 18 Fox David W. Useful Technical Devices in Intermediate Problems 36 Fox David W. and Sigillito Vincent G.

Der vorliegende Band gibt hauptsachlich Vortrage wieder, die in der Zeit vom 23. bis 27. Februar 1976 auf einem am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach abgehaltenen Kolloquium uber "Optimierung bei graphentheo- retischen und ganzzahligen Problemen" gehalten wurden. Die Tagung war einem aktuellen und in neuerer Zeit in der Literatur viel behandelten Teilge- biet der Optimierung gewidmet. Die graphen theoretischen und ganzzahligen Optimierungsprobleme sind, wie auch aus den 19 Vortragen hervorging, fur viele Anwendungen in Wirtschaft und Technik von Bedeutung, geben aber auch Anlass zu interessanten theoretischen Untersuchungen. Auch uber Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Methoden konnte berichtet werden, vor allem im Zusammenhang mit der Komplexitat von Algorithmen. So hoffen die Unterzeichner, dass die Tagung dazu beigetragen hat, den Kontakt zwischen mathematischer Theorie und Anwendungsgebieten wieder etwas starker zu beleben. Die 42 Teilnehmer aus dem In-und Ausland, darunter eine groessere Gruppe aus den Niederlanden und einige eigens zu dieser Tagung aus Amerika angereiste Kollegen, haben in Vortragen und Diskussionen viele wertvolle Informationen austauschen koennen. Der Institutsleitung gebuhrt fur diese Gelegenheit der wissenschaftlichen Begegnung der Dank aller Teilnehmer. W. WETTERLING L. COLLATZ G. MEINARDUS (Siegen) (Enschede) (Hamburg) Inhaltsverzeichnis R.E. BURKARD - H. HAMACHER - U. ZIMMERMANN: Flussprobleme mit allgemeinen Kosten ........................... 9 L. COLLATZ: Graphen bei Ornamenten und Verzweigungsdiagrammen . . . . . . . . . . 23 . . B. DEJON: Bestimmung von r kurzesten Wegen in Netzwerken unter Nebenbed- gungen: Verfahren vom Hoffman-Pavley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 . . . . . R. HALIN: Systeme disjunkter unendlicher Wege in Graphen .................. 55 P.L. HAMMER: Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 . . . . .

Die Funktionalanalysis hat in neuerer Zeit immer starkere Bedeutung fUr die Numerische Mathematik erlangt, so daB sie heute schon als eine der grund- legenden Disziplinen ftir die Numerische Mathematik angesehen werden kann. Es zeigte sich dabei, daB verschiedene Teile der Funktionalanalysis dabei wei- ter ausgebaut und auf eine fUr die Anwendungen bequeme Form gebracht wer- den muBten. Es war auch notig, neue Entwicklungen durchzuftihren. So hat die Numerische Mathematik auch zur Befruchtung der Funktionalanalysis und zur EinfUhrung weiterer funktionalanalytischer Begriffe geftihrt. Als ein Beispiel daftir seien die pseudometrischen Raume genannt. Der Pflege dieser Zusammenhange waren mehrere Arbeitstagungen ge- widmet, fUr we1che das mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach in dankenswerter Weise den Rahmen bereitstellte. Die Teilnehmer werden die herzliche, personliche Atmosphare und die anregenden Diskussionen sicher in angenehmer Erinnerung behalten. Auf einer ersten, bereits sehr gut besuchten Tagung im Juni 1964 wurde beschlossen, dieses Gebiet weiter zu behandeln, und so fanden zwei weitere Tagungen statt: 22. bis 25. Juni 1965 tiber: Numerische Probleme in der Approximationstheorie unter Leitung der Herren Collatz und Meinardus 15. bis 20. November 1965 tiber: Funktionalanalytische Methoden in der Numerischen Mathematik unter Leitung der Herren Collatz und Unger.

Auf dieser von 52 Personen aus 9 Landern besuchten Tagung uber die numeri- sche Behatldlung von Differentialgleichungen wurde wieder die Anwendungs- bezogenheit des Gebietes deutlich. Im Mittelpunkt standen eine Reihe von Vortragen uber Diskretisierungsmethoden und Differenzenverfahren. Weitere Themen waren finite Elemente, Eigenwertprobleme und die numerische Be- handlung von Stiff-Equations. In allen Vortragen konnte uber bemerkenswerte Fortschritte berichtet werden. Dennoch blieben viele Fragen offen. Grosses Interesse fanden auch Vortrage aus verschiedenen Anwendungsbereichen der Mathematik, wie z. B. Stroemungslehre, Schalentheorie, Warmeleitungsprobleme OEkonomie, chemische Probleme u. a. Fur das Gelingen der Tagung trug zu einem guten Teil die angenehme Atmo- sphare des Instituts in Oberwolfach und die wie immer aufmerksame Betreu- ung durch das Personal bei. Inhaltsverzeichnis E. Bohl: Stabilitatsungleichungen fur diskrete Analoga nichtlinearer Randwe- aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 H. Brunner: The solution of systems of Stiff nonlinear differential equations by recursive collocation using exponential functions . . . . . . . . . 29 . R. Frank: Schatzungen des globalen Diskretisierungsfehlers bei Runge-Kutta- Methoden . . . . . . . 45 1. Galligani: A regularization method for the identification of environmental systems . . . . . . . . . . . 71 E. Gekeler-W. Gentzsch: Differenzenverfahren fur quasilineare parabolische Anfangsrandwe- aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 R. B. Guenther: On the numerical treatment of partial differential equations in the neighborhood of isolated singularities with applications . 93 K. P. Hadeler: Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . 111 W. Hoehn Ober die numerische Behandlung von Variationsproblemen mit natur- lichen Randbedingungen in zwei Dimensionen. . . . . . . . 131 C. Johnson: On finite element methods for curved shells using Hat elements 147 F. Locher: Numerische Loesung linearer Differentialgleichungen mit Hilfe von Cebysev-Entwicklung . . . . . . . . . . . 155 K.

Der vorliegende Band gibt im wesentlichen Vortrage einer Tagung Modeme Methoden der Numerischen Mathematik wieder, die yom 10. bis 13.Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universitat Clausthal stattfand und die durch verschiedene Beispiele sowohl Forschungsschwer- punkte als auch Anwendungen in anderen Wissenschaften zeigen sollte. Folgende Gebiete kamen dabei zur Sprache: Eigenwertaufgaben, Iterationen mit expandierenden und mit monotonen Operatoren, nichtlineare Schwin- gungen, Approximation, Interpolation und Quadratur, Ausgleichungen, Opti- mierung, optimale Steuerung, Diskretisierungsverfahren bei Anfangs- und Randwertaufgaben, schnelle Fourier-Transformationen, Diffusionsgleichun- gen in biologischen Modellen und Identifizierungsprobleme. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei auch an dieser Stelle fUr die Forderung der Tagung gedankt; dem Birkhauser Verlag gilt der Dank fUr die Herausgabe dieses Bandes und fUr seine - wie stets -gute Ausstattung. L. COLLATZ, J. ALBRECHT INHALTSVERZEICHNIS J. ALBRECHT: Bemerkungen zur Newton-Iteration fUr A1I2 und A-I 9 P.M. ANSELONE: Nonlinear operator Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . ERICH BOHL: Zur Anwendung von Differenzenschemen mit symmetrischen Formeln bei Randwertaufgaben ......................................... 25 HELMUT BRASS: Quadraturverfahren vom Gregoryschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . HAROLD D. EIDSON, LARRY L. SCHUMAKER: Spline solution of linear initial-and boundary-value problems ........ 67 ILIO GALLIGANI: Identification problems in electrocardiology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . . . . . . FRIEDRICH GOERISCH: Ober eine Methode zum Vergleich von Schranken fUr Eigenwerte ..... 97 PETER HENRICI: Einige Anwendungen der schnellen Fouriertransformation . . . . . . .. . . . III GUNTER MEINARDUS: Algebraische Formulierung von Spline-Interpolation en . . . . . . . . .. . . . 125 . P. SPELLUCCI: Algorithms for rational discrete least aquares approximation part I: Unconstrained optimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 139 . . . . . . . . . H. WERNER: Einige Beispiele kombinatorischer Aufgabenstellungen in den Geistes- wissenschaften .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 159 . . . . . . . . . . . . .

Vom 16. 11. bis 22. 11. 1975 fand im Mathematischen Forschungsinstitut Ober- wolfach eine Tagung uber Numerische Behandlung von Differentialglei- chungen unter besonderer Berucksichtigung der Methode der Finiten Ele- mente statt, die von ungefahr 50 Personen, darunter auch zahlreichen Vertretern des Auslandes, besucht war. In den Vortragen wurde versucht, einen UEberblick uber den derzeitigen Stand der Forschung zu vermitteln; einen betrachtlichen Anteil am Tagungsprogramm hatten dabei naturgemass Diskretisierungsverfahren flir Anfangs- und Randwertaufgaben mit gewoehn- lichen und partiellen Differentialgleichungen, und hierbei wiederum die in neuerer Zeit entwickelte Methode der finiten Elemente, die wegen der vielen Anwendungen, vor allem auf ingenieurwissenschaftliche Probleme, auch von seiten der Mathematiker besondere Beachtung verdient. Hierzu wurden in erster Linie Konvergenz- und Stabilitatsfragen und die Aufstellung nume- risch brauchbarer Fehlerschranken behandelt. Spezielles Interesse fanden Vortrage uber Themen aus den in der Praxis vorkommenden Anwendungen; hierdurch wurde versucht, wiederum Beitrage zu starkeren Kontakten zwi- schen Theorie und Anwendungen zu geben. Unser besonderer Dank gebuhrt dem Direktor des Mathematischen For- schungsinstituts, Herrn Prof. Dr. M. Barner, seinen Mitarbeitern und dem Birkhauser V erlag. L. COLLATZ, J. ALBRECHT Inhaltsverzeichnis W. -J. BEYN: Das Parallelenverfahren fur Operatorgleichungen und seine Anw- dung auf nichtlineare Randwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 H. v. DEIN: Konvergenzbedingungen bei der numerischen Loesung nichtlinearer Anfangswertaufgaben mittels Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 U. ECKHARDT: Incorrectly posed problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 R. B. GUENTHER: Some mathematical problems in agriculture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 W. HoFMANN und H. Voss: Shooting V erfahren fur nichtlineare Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . 79 G.