In unserer Arbeit [ 7] werden beschrEinkte lineare Funktionale auf verschiedenen R umen stetiger Funktionen untersucht und zwar die Gultig eit von Riesz-Darstellungss tzen. W hrend wir uns dort auf stetige Funktionen beschr nken, nehmen wir hier die R ume Lebesgue-integrierbarer Funktionen hinzu. Ein Aspekt der obigen Arbeit ist der Zusammenhang zwischen dem BV[O, l]-Hausdorff-Momentenproblem und dem C[O, l]-Riesz-Dar- stellungssatz: einmal kann man den C[O, l]-Riesz-Satz durch An- wendung des BV[O, l]-Hausdorff-Momentenproblems beweisen (vgl. [20], [39]), aber umgekehrt l t sich das Hausdorff-Momentenproblem Uber den Riesz-Darstellungssatz IBsen (vgl. [19], [25]). Es stellt sich daher die Frage, ob ein hnlicher . Zusammenhang nach- gewiesen werden kann zwischen den Riesz-Darstellungss tzen fUr verschiedene R ume stetiger bzw. Lebesgue-integrierbarer Funk- tionen und gewissen Momentenproblemen mit Belegungsfunktionen aus den dualen R umen. Dazu wollen wir zun chst einmal verschiedene Funktionenr ume definieren. Fur reel Ie Zahlen a und b, a

Diese Monographie behandelt die eindimensionale Hilberttransformation und die ge brochene Integration auf der reellen Zahlengeraden. Da sich viele der Beweise auf die Fouriertransformation fur Lp-Funktionen (1 ~ P ~ 2) stutzen, haben wir in Kapitel 1 alles Noetige aus der Theorie der Fouriertransformation fur Funktionen einer Verander lichen systematisch zusammengestellt. Weiterhin haben wir uns erlaubt, die wohl bekannten Eigenschaften der Hilberttransformation ohne Beweis vorauszusetzen und weniger bekannte ausfuhrlich zu beweisen. Der Schwerpunkt der Monographie liegt bei den Kapiteln 3-6, deren Ergebnisse zum grossen Teil neu sind. Da in der Einleitung uber die Problemstellung und uber die Resultate naher berichtet wird, sei an dieser Stelle nur erwahnt, dass Ausgangspunkte unserer UEberlegungen Arbeiten folgender Mathematiker sind: S. BOCHNER, J. L. B. COOPER, W. FELLER, G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD, G. O. OKIKIOLU, M. RIESZ, E. C. TITCHMARSH und H. WEYL. Dadurch wird eine Einordnung unserer Ergebnisse gewahrleistet. Unser besonderer Dank gilt Herrn Professor J. L. B. COOPER fur viele fruchtbare Dis kussionen und wertvolle Ratschlage. Seine Vortrage im Aachener Kolloquium und seine Teilnahme an einer Tagung, die der erstgenannte Verfasser im MATHEMATISCHEN FORSCHUNGSINSTITUT OBERWOLFACH im August 1963 abgehalten hat, waren stets an regend. Die Verfasser danken den Herrn Dr. E. GOERLICH und H. JOHNEN fur manche kritischen Bemerkungen und fur ihre Mithilfe bei der Durchsicht von Teilen des Manuskripts und der Korrekturen, ferner Frl. K. REIMER-KELLNER, die das Manuskript mit grosser Sorgfalt geschrieben hat, und dem Westdeutschen Verlag fur sein Ent gegenkommen und die gute Ausstattung dieser Monographie.