Dieses zweibAndige Werk handelt von Mathematik und ihrer Geschichte. Die sorgfAltige Analyse dessen, was die Alten bewiesen - meist sehr viel mehr, als sie ahnten -, fA1/4hrt zu einem besseren VerstAndnis der Geschichte und zu einer guten Motivation und einem ebenfalls besseren VerstAndnis heutiger Mathematik.
Der zweite Band beginnt mit der groAen Arbeit von Lagrange von 1770/71, die spAter Galois inspirierte. Um sie zu verstehen, benAtigt man den Begriff der Resultanten von Polynomen. Dieser wird bereitgestellt, zusammen mit Algorithmen zu ihrer Berechnung, die aus dem 20. Jahrhundert stammen. Zentral sind dann Arbeiten von Steinitz und Galois. FA1/4r diese wird transfiniten Methoden und Gruppen sowie der Geschichte beider Themen entsprechender Raum gewidmet. Viel gesagt wird auch A1/4ber die Kreisteilungspolynome. Um die Transzendenz von Pi zu beweisen, werden schlieAlich auch noch topologische Methoden behandelt.

Dieses zweibAndige Werk handelt von Mathematik und ihrer Geschichte. Die sorgfAltige Analyse dessen, was die Alten bewiesen - meist sehr viel mehr, als sie ahnten -, fA1/4hrt zu einem besseren VerstAndnis der Geschichte und zu einer guten Motivation und einem ebenfalls besseren VerstAndnis heutiger Mathematik.
Die Themen des ersten Bandes reichen von der Konstruktion der reellen Zahlen mittels dedekindscher Schnitte bis hin zum Fundamentalsatz der Algebra. Dazwischen werden die BA1/4cher V bis X der euklidischen Elemente abgehandelt, wobei insbesondere die eudoxische Proportionenlehre (Buch V) eine zentrale Rolle spielt. Sie bietet einen eleganten Zugang zu den Logarithmen, so dass auch Neper ausfA1/4hrlich zu Wort kommt. Weitere Themen sind die natA1/4rlichen Zahlen und das Induktionsprinzip; die Entdeckung der LAsungsformeln der Gleichungen dritten und vierten Grades; Polynomringe in beliebig vielen Unbestimmten; symmetrische Polynome und der Satz von Waring.

In "Grossen und Zahlen" gelingt durch die Verbindung der Proportionenlehre des Eudoxos mit den dedekindschen Schnitten ein faszinierender Bruckenschlag zwischen der Zahlentheorie und der Analysis. Beide Bucher entstammen dem Nachlass Luneburgs und werden herausgegeben von Theo Grundhofer, Karl Strambach sowie Huberta Lausch."

"Zahlentheorie" bietet neue und uberraschende Einblicke in die Zahlentheorie bzw. die quadratischen Erweiterungen der rationalen Zahlen. Es eignet sich vor allem fur fortgeschrittene Leser, die einen tieferen Einblick in die Zahlentheorie erhalten mochten."

Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die der Autor in Kaiserslautern gehalten hat. Ihr wesentliches Anliegen war, die Turing-berechenbaren Wortfunktionen auf eine von jeglichem Maschinenmodell unabhangige Weise zu charakterisieren, namlich als die partiell Wort-rekursiven Wortfunktionen. Wortfunktionen lassen sich mittels arithmetischer Funktionen darstellen und zwar so, dass die partiell rekursiven arithmetischen Funktionen den partiell Wort-rekursiven Wortfunktionen entsprechen, was fur sich gesehen schon nicht auf der Hand liegt. Auf diese Weise erhalt man den Begriff der Turing-Berechenbarkeit auch fur arithmetische Funktionen. Der Satz also, dass die Turing-berechenbaren Wortfunktionen gerade die partiell rekursiven Wortfunktionen sind, ist uberhaupt nicht selbstverstandlich, so dass auf dem Wege zu diesem Satz eine ganze Reihe hoch interessanter weiterer Satze zu beweisen sind. Dies alles ist hier aufgeschrieben.

Your aid I want Nine trees to plant In rows just half a score, And let there be In each row three. Solve this. I ask no more. ( J. J ackson, Rational Amusements for Winter Evenings. London 1821) Beim Beweise vieler Satze der Elementargeometrie nutzt man nur sehr unvollkom- men aus, dass es der Koerper der reellen Zahlen ist, welcher der Geometrie zugrunde liegt. Mal sind es nur die Koerpereigenschaften, die man benoetigt, mal dass die mul- tiplikative Gruppe abelsch ist. Manchmal braucht man auch nur, dass die Charak- teristik nicht zwei ist, ein andermal, dass R eine Anordnung besitzt. Gelegentlich genugt es sogar zu wissen, dass die euklidische Ebene eine affine Ebene ist. Diese wenigen Andeutungen machen schon ein wenig deutlich, worum es bei un- serem Thema gehen wird: Wir werden uns einerseits erheblich einschranken, indem wir hier unter Elementargeometrie nur die ebene euklidische Geometrie verstehen, also auf alles Raumliche verzichten, andererseits eine wesentliche Erweiterung des Themas Elementargeometrie vornehmen, indem wir zumindest zu Beginn unserer Untersuchungen auch beliebige projektive Ebenen in sie einbeziehen, da wir uns dieses Hilfsmittels nicht werden begeben wollen. Wir werden jedoch nicht eine The- orie der projektiven Ebenen entwickeln, wie sie etwa in den im Literaturverzeichnis aufgefuhrten Buchern von P. Dembowski, Hughes und Piper, Pickert oder auch von mir dargestellt wird.

Was in den vergangenen 170 Jahren an beeindruckender Mathematik in diesem Zusammenhang entstanden ist, schildert und lehrt das vorliegende Buch, ohne jedoch auf die Historie selbst einzugehen.

Was Kombinatorik ist, weiss so recht niemand zu sagen, wie die vielen Beschreibungsversuche zeigen. Dass der Inhalt dieses Band- chens Kombinatorik ist, wird der Leser jedoch nicht abstreiten. Da ich soweit mit dem Leser einig bin, brauche ich mich nicht weiter mit dem Erklaren dessen, was Kombinatorik ist, abzumuhen. Im ubrigen kenne ich auch kein Algebra- oder Analysisbuch, in dessen Vorwort der Autor erklart, was Algebra bzw. Analysis eigentlich ist. Ich befinde mich da also in guter Gesellschaft. Was den Inhalt dieses Bandchens betrifft, so ist auch klar, dass nur ein geringer Bruchteil der Kombinatorik auf den folgenden Sei- ten aufgeschrieben steht. Bei der Auswahl der Themen habe ich mich von meinen geometrischen und algebraischen Interessen und meinem Geschmack leiten lassen, so dass manches in diesem Buchlein steht, was man sonst meist nicht in Konibinatorikbuchern findet, wie z. B. die Sylow'schen Satze und den Existenz-und Eindeutigkeitssatz fur end- liche Koerper, das Rado'sche Auswahlprinzip und die Satze, die sich daran anschliessen, sowie die Hadamard'sche Determinantenabschatzung die zwar nicht zur Kombinatorik gehoert, aber unmittelbar zu kom- binatorischen Problemen hinfuhrt, die nach wie vor nicht vollstandig geloest sind. Aber auch bei der hier getroffenen Auswahl musste ich mich noch beschranken, um den Umfang des Buchleins nicht uber Gebuhr anschwellen zu lassen. Der Leser, der weitere Informationen wunscht, sei auf das Literaturverzeichnis am Ende dieses Bandchens verwiesen.