General Theory of Partial Differential Equations of First Order.

Differential Equations of Higher Order.

Potential Theory and Elliptic Differential Equations.

Hyperbolic Differential Equations in Two Independent Variables.

Hyperbolic Differential Equations in More than Two Independent Variables.

Bibliography.

Index.

Partial table of contents:

THE ALGEBRA OF LINEAR TRANSFORMATIONS AND QUADRATIC FORMS.

Transformation to Principal Axes of Quadratic and Hermitian Forms.

Minimum-Maximum Property of Eigenvalues.

SERIES EXPANSION OF ARBITRARY FUNCTIONS.

Orthogonal Systems of Functions.

Measure of Independence and Dimension Number.

Fourier Series.

Legendre Polynomials.

LINEAR INTEGRAL EQUATIONS.

The Expansion Theorem and Its Applications.

Neumann Series and the Reciprocal Kernel.

The Fredholm Formulas.

THE CALCULUS OF VARIATIONS.

Direct Solutions.

The Euler Equations.

VIBRATION AND EIGENVALUE PROBLEMS.

Systems of a Finite Number of Degrees of Freedom.

The Vibrating String.

The Vibrating Membrane.

Green's Function (Influence Function) and Reduction of Differential Equations to Integral Equations.

APPLICATION OF THE CALCULUS OF VARIATIONS TO EIGENVALUE PROBLEMS.

Completeness and Expansion Theorems.

Nodes of Eigenfunctions.

SPECIAL FUNCTIONS DEFINED BY EIGENVALUE PROBLEMS.

Bessel Functions.

Asymptotic Expansions.

Additional Bibliography.

Index.

It has always been a temptation for mathematicians to present the crystallized product of their thoughts as a deductive general theory and to relegate the individual mathematical phenomenon into the role of an example. The reader who submits to the dogmatic form will be easily indoctrinated. Enlightenment, however, must come from an understanding of motives; live mathematical development springs from specific natural problems which can be easily understood, but whose solutions are difficult and demand new methods of more general significance. The present book deals with subjects of this category. It is written in a style which, as the author hopes, expresses adequately the balance and tension between the individuality of mathematical objects and the generality of mathematical methods. The author has been interested in Dirichlet's Principle and its various applications since his days as a student under David Hilbert. Plans for writing a book on these topics were revived when Jesse Douglas' work suggested to him a close connection between Dirichlet's Principle and basic problems concerning minimal sur faces. But war work and other duties intervened; even now, after much delay, the book appears in a much less polished and complete form than the author would have liked."

This set features: Foundations of Differential Geometry, Volume 1 by Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (978-0-471-15733-5) Foundations of Differential Geometry, Volume 2 by Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (978-0-471-15732-8) Differential and Integral Calculus, Volume 1 by Richard Courant (978-0-471-60842-4) Differential and Integral Calculus, Volume 2 by Richard Courant (978-0-471-60840-0) Linear Operators, Part 1: General Theory by Neilson Dunford and Jacob T. Schwartz (978-0-471-60848-6) Linear Operators, Part 2: Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space Theory by Neilson Dunford and Jacob T. Schwartz (978-0-471-60847-9) Linear Operators, Part 3: Spectral Operators by Neilson Dunford and Jacob T. Schwartz (978-0-471-60846-2) Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1, Power Series Integration Conformal Mapping Location of Zero by Peter Henrici (978-0-471-60841-7) Applied and Computational Complex Analysis, Volume 2, Special Functions-Integral Transforms- Asymptotics-Continued Fractions by Peter Henrici (978-0-471-54289-6) Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3, Discrete Fourier Analysis, Cauchy Integrals, Construction of Conformal Maps, Univalent Functions by Peter Henrici (978-0-471-58986-0)"

In diesem Buch, erstmals 1924 bzw. 1937 erschienen, spurt man noch wie am ersten Tag die Frische und Inspiration zweier grosser Mathematiker und Lehrer. Hilbert kann man mit Fug und Recht als den letzten Mathematiker bezeichnen, der in allen Gebieten seiner Wissenschaft zu Hause war und in den verschiedensten Bereichen der Mathematik grundlegende neue Erkenntnisse gewann. Seine Resultate haben entscheidend die moderne Auffassung vom Wesen der Mathematik gepragt. Sein Schuler Courant galt und gilt auch heute noch als ein ausgezeichneter Lehrer, der auch schwierigste Materien verstandlich darstellen konnte. Das bei Springer erschienene Buch von Courant/Robbins: "Was ist Mathematik," kann in diesem Zusammenhang als beispielhaft genannt werden. Alles in allem eine grossartige Zusammenfassung der mathematischen Hilfsmittel des Physikers, die auch heute noch viele enthusiastische Leser finden wird."

Mathematik ist nicht jedermanns Sache. Wer sie liebt, findet sie spannend und aufregend. Fur viele Menschen aber ist Mathematik ein Buch mit sieben Siegeln. Was ist Mathematik? schlagt Brucken und ladt jeden ein, das Reich der Mathematik zu betreten, der neugierig genug ist, sich auf ein Abenteuer einzulassen. Das Buch richtet sich an Leser jeden Alters und jeder Vorbildung. Gymnasiallehrer finden eine reiche Auswahl an Beispielen, Studenten bietet es Orientierung, und Dozenten werden sich an den Feinheiten der Darstellung zweier Meister ihres Faches erfreuen.

Partial table of contents:

Preliminary Remarks on Analytical Geometry and Vector Analysis: Rectangular Coordinates and Vectors, Affine Transformations and the Multiplication of Determinants.

Functions of Several Variables and Their Derivatives: Continuity, The Total Differential of a Function and Its Geometrical Meaning.

Developments and Applications of the Differential Calculus: Implicit Functions, Maxima and Minima.

Multiple Integrals: Transformation of Multiple Integrals, Improper Integrals.

Integration over Regions in Several Dimensions: Surface Integrals, Stokes's Theorem in Space.

Differential Equations: Examples on the Mechanics of a Particle, Linear Differential Equations.

Calculus of Variations: Euler's Differential Equation in the Simplest Case, Generalizations.

Functions of a Complex Variable: The Integration of Analytic Functions, Cauchy's Formula and Its Applications.

Appendixes.

Index.

The present volume gives a systematic treatment of potential functions. It takes its origin in two courses, one elementary and one advanced, which the author has given at intervals during the last ten years, and has a two-fold purpose: first, to serve as an introduction for students whose attainments in the Calculus include some knowledge of partial derivatives and multiple and line integrals; and secondly, to provide the reader with the fundamentals of the subject, so that he may proceed immediately to the applications, or to the periodical literature of the day. It is inherent in the nature of the subject that physical intuition and illustration be appealed to freely, and this has been done. However, in order that the book may present sound ideals to the student, and also serve the mathematician, both for purposes of reference and as a basis for further developments, the proofs have been given by rigorous methods. This has led, at a number of points, to results either not found elsewhere, or not readily accessible. Thus, Chapter IV contains a proof for the general regular region of the divergence theorem (Gauss', or Green's theorem) on the reduction of volume to surface integrals. The treatment of the fundamental existence theorems in Chapter XI by means of integral equations meets squarely the difficulties incident to the discontinuity of the kernel, and the same chapter gives an account of the most recent developments with respect to the Dirichlet problem.

47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist. 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor- kommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!...-a.

VIII uber den Inhalt im einzelnen unterrichtet das ausfuhrliche Ver- zeichnis. Zur Form ist etwas Grundsatzliches zu sagen: Das klassische Ideal einer gewissermassen atomistischen Auffassung der Mathematik ver- langt, den Stoff in Form von Voraussetzungen, Satzen und Beweisen zu kondensieren. Dabei ist der innere Zusammenhang und die Motivierung der Theorie nicht unmittelbar Gegenstand der Darstellung. In kom- plementarer Weise kann man ein mathematisches Gebiet als stetiges Gewebe von Zusammenhangen betrachten, bei dessen Beschreibung die Methode und die Motivierung in den Vordergrund treten und die Kri- stallisierung der Einsichten in isolierte scharf umrissene Satze erst eine sekundare Rolle spielt. Wo eine Synthese beider Auffassungen untunlich schien, habe ich den zweiten Gesichtspunkt bevorzugt. New Rochelle, New York, 24. Oktober 1937. R. Courant. Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. Vorbereitung. - Grundbegriffe. I. Orientierung uber die Mannigfaltigkeit der Loesungen 2 1. Beispiele S. 2. - 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funk- tionenscharen und -familien S. 7. 2. Systeme von Differentialgleichungen ............... 10 1. Problem der AEquivalenz von Systemen und einzelnen Differential- 2. Bestimmte, uberbestimmte, unterbestimmte gleichungen S. 10. - Systeme S. 12. J. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen. . . . . . 14 1. Separation der Variablen S. 14. - 2. Erzeugung weiterer Loesungen durch Superposition. Grundloesung der Warmeleitung. Poissons Integral S.16. 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ord- nung mit zwei unabhangigen Variablen. Das vollstandige Integral . . 18 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung S. 18. - 2. Das vollstandige Integral S. 19. - 3. Singulare Integrale S. 20.

Die elektrische Energie ist aus dem modernen Leben gar nicht mehr fortzudenken. Ob wir in einen kleinen bescheidenen Haus halt, ob wir in das Sprech- oder Behandlungszimmer eines Arztes oder Zahnarztes, ob wir auf den Hof eines Bauern oder eines GroB grundbesitzers, ob wir in einen wirtschaftlichen Kleinbetrieb oder in eine groBe Fabrik, ob wir in ein Riistungswerk oder ein chemi sches Forschungslaboratorium schauen, iiberaU begegnet uns in irgendeiner Form das Wunder der Elektrizitat. Auch in dem uns von unseren Feinden aufgezwungenen Daseinskampf ist uns die Elektrizitat eine wertvoUe Hilfe, die wir nicht missen m6chten; denken wir einmal, um nur eines herauszugreifen, an die Her steUung der neuen Werkstoffe aus Kohlenstoff und Wasserstoff. So segensreich nun diese Kraft in der Hand des Meisters ist; so gefahrlich ist sie in der Hand dessen, der nicht mit ihr umzu gehen weiB, sei es des unvorsichtigen Arbeiters, der mit den Handen spannungsfiihrende Leitungen priift, sei es des leichtsinnigen Lehrlings, der sich durch das Verbinden einer Tiirklinke mit elek trisch geladenen Drahten einen Scherz mit seinem Mitlehrling erlaubt, sei es des von falscher Sparsamkeit besessenen Geizhalses, der einen schadhaften elektrischen Warmeofen oder eine Steh lampe mit ins Bad nimmt und dabei tot umfaUt."

st Die Laplacesche Integraltransformation J e- F(t) dt kann als das kontinuierliche Analogon zur Dirichletschen Reihe .: E a"e-}'''s und zur Potenzreihe .: E en z" = .: E c" e-ns betrachtet werden. Wahrend jedoch diese Reihen langst zum Allgemeingut der Mathematiker geh6ren und in den verschiedensten Gebieten angewandt werden, ist die Laplace-Trans formation nur einem kleinen Kreis wirklich gelaufig, was urn so be dauerlicher ist, als sie an Verwendungsfahigkeit jene Reihen, die sie als Spezialfaile enthalt, noch weit tibertrifft. DaB die Laplace-Transfor mation, obwohl sie auf ein viel h6heres Alter als die Dirichletsche Reihe zuriickblicken kann, sich bisher so wenig eingebtirgert hat, liegt in erster Linie daran, daB bisher eine zusammenfassende Darsteilung ihrer Theorie fehlte. Das Material ist tiber die ganze Zeitschriftenliteratur verstreut und oft in andere Untersuchungen eingebettet, wo man es kaum ver mutet; vieles steht in alteren Jahrgangen schwer zuganglicher Zeit schriften. Dazu kommt, daB manche grundlegende Satze der Theorie zwar den Kennern geHiufig sind, sich aber nirgends explizit formuliert, noch weniger bewiesen finden. Auch das explizit Ausgesprochene und Bewiesene leidet haufig darunter, daB die Beweise unzulanglich oder nicht in wtinschenswertem Umfang gefiihrt sind. Aile diese Umstande lieBen bei der wachsenden Bedeutung der Laplace-Transformation den \iVunsch nach einer Darsteilung immer fiihlbarer werden, die einerseits die theoretischen Grundlagen der Transformation ausfiihrlich und ein heitlich zusammenstelit, und andererseits zeigt, in welchen Gebieten sie bisher mit Erfolg angewandt worden ist. Man kann heute innerhalb dessen, was zur Laplace-Transformation zu rechnen ist, drei Richtungen unterscheiden."

In dieser Einleitung habe ich zwei voneinander unabhangige Auf satze zusammengestellt, welche mir zur Einfiihrung in die Gruppen theorie geeignet erscheinen. Ich bemerke jedoch, daB die Kenntnis ihres Inhaltes in der Folge nirgends vorausgesetzt wird, so daB der Leser sie ruhig iiberschlagen kann. I. Zur Vorgeschichte der Gruppentheorie. Lange bevor man sich mit Permutationen beschaftigte, wurden mathematische Figuren konstruiert, die auf das engste mit der Gruppen theorie zusammenhangen und nur mit gruppentheoretischen Begriffen erfaBt werden k6nnen, narnlich die regularen Muster, welche durch Bewegungen und Spiegelungen mit sich selbst zur Deckung gebracht werden k6nnen. Sie bilden zusammen mit der Musik einen Haupt gegenstand der hOheren Mathematik im Altertum. Insbesondere be stand die von den Griechen viel bewunderte agyptische Mathematik zweifellos in der Auffindung solcher Figuren. In den N ekropolen von Theben sind prachtvolle Exemplare dieser Geometrie heute noch vor handen, einige derselben sind im 6. Kapitel reprodu iert. Wahrend diese agyptischen Ornamente meist einen sog. "unendlichen Rapport" enthalten, d. h. allseitig in der Ebene ins Un ndliche fortgesetzt werden k6nnten, beschranken sich die uns erhaltenen griechischen Schriften dieser Art auf Figuren, welche ganz im Endlichen liegen und nur endlich viele Symmetrien aufweisen, namlich auf die regularen Polygone und Polyeder. Das klassische Werk fiir dieses Gebiet der Mathematik bilden die Elemente von Euklid."

Das vorliegende Buch versucht, im Geiste W. R. HAMILTONS die geometrische Optik in ihrem heutigen Bestand aus einem Grundgesetz, einer Umformung des FERMATschen Prinzipes, einheitlich aufzubauen. Urn zu zeigen, daJ3 die hier angewandten Methoden auch fUr andere Variationsprobleme sich nutzlich erweisen k6nnen, werden im erst en Teil, angeregt durch Arbeiten von C. CARATHEODORY, die Grundgesetze auch in anisotropen und inhomogenen Mitteln behandelt. 1m zweiten Teil findet man eine Darstellung der Gesetze erster Ordnung, in dem u. a. die Ergebnisse A. GULLSTRANDS neu abgeleitet werden; hier wird insbesondere darauf geachtet, den oft verwischten Unterschied deutlich aufzuzeigen zwischen den Eigenschaften der optischen Abbildung in der Nahe einer Rotationsachse und den Eigenschaften einer kollinearen Abbildung mit in der Grenze gleichen Eigenschaften. Die Theorie der Strahlenbegrenzung nach ABBE und M. v. ROHR geht hier auch weiter als ublich, und es wird auf die Grenzen ihrer Gultigkeit hingewiesen. Die SEIDELschen Bildfehler werden sowohl in ihrer Abh . ngigkeit von der Blendenlage, als auch - wohl zum erstenmal- in ihrer Abhangig keit von der Objektlage eingehend behandelt; dies Kapite1 wird sicher auch dem reinen Praktiker etwas bieten, da hier u. a. die Grenzen der Forderungen angegebenwerden, die man an optische Systeme stellen darf. Der vorletzte Teil besch . ftigt sich mit den Abbildungsgesetzen bei endlicher Offnung und endlicher Apertur, insbesondere mit der ABBEschen Sinusbedingung und ihren Erweiterungen. . In diesem und dem letzten Teil, der besondere, ausgezeichnete Abbildungen des ganzen Strahlenraums behandelt, sind insbesondere Untersuchungen verarbeitet, die mein Kollege H."

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

In dem vorliegenden kleinen Buche habenwir versucht, eine kurze Anleitung fUr die Einrichtung und den Betrieb einer arzt lichen Hausapotheke und fUr die darin ausfUhrbare Rezeptur zu geben. Unseres Wissens lag bisher keine derartige fur haus apothekenfuhrende Arzte bestimmte Anleitung vor. Die Arzte waren daher gezwungen, sich das fiir die Hausapotheke notwen dige vVissen und Konnen aus Arzneiverordnungsbiichern und pharmazeutischen Lehr- und Handbiichern herauszusuchen, wo bei es fiir den Arzt oft schwer war zu entscheiden, welehe Re zepturarbeiten in der HausapQtheke durchfiihrbar sind. Diese M iihe solI dem A: rzte durch unser Biichlein erspart werden. Wit' haben uns bemiiht, alles fiir die Fiihrung einer arztlichen Haus apotheke Wissenswerte in iibersichtlicher Form zusammen zu stellen. Die Sehwierigkeit lag dabei vor aHem in der richtigen Auswahl; grundsatzlich setzten wir die eingehende Kenntnis del' Wirkungsweise und nur geringe Kenntnisse der chemischen und physikalischen Eigenschaftcn der Arzneimittel voraus. Erleich tert wurde fiir uns die Abfassung des Buches durch personliche Erfahrungen im Unterricht und in Kursen fiir hausapothekenfiih rende Arzte, durch die eigene Tatigkeit in einer Apotheke, die' seit J ahrzehnten viele arztliche Hausapotheken mit Arzneimitteln versorgt, und durch Aussprache mit vielen hausapothekenfUh renden Arzten. Trotz grundsatzlicher Einigkeit hatten wir abel' im einzelnen manche Meinungsverschiedenheiten zu iiberwin den, ob dieser oder jener Punkt mehr oder weniger ausfUhrlirh zu behandeln sei und wir waren daher Arzten mit Hausapotheken fiir weitere Anregungen aus ihrer eigenen Erfahrung sehr dank bar."

Die Entwicklung der Ozeanographie ist dank der Fortschritte meeres kundlicher Messungen und der Bearbeitungsmethoden ozeanographi schen Beobachtungsmaterials bei jenem wichtigen Wendepunkt angelangt, bei dem von der mehr beschreibenden Betrachtungsweise zu einer stren geren Behandlung gesetzlicher Erscheinungen ubergegangen werden kann. Die Ozeanographie folgt in dieser fortschreitenden Entwicklung immer mehr ihrer Schwesterdisziplin, der Meteorologie, die diesen Ubergang bei der Behandlung einzelner Probleme schon in vielen Fallen erfolg reich durchgefUhrt hat. 1m vorliegenden Buche habe ich versucht, eine Zusammenstellung unserer Kenntnisse der Bewegungserscheinungen im Meere auf theoretisch-physikalischer Grundlage zu geben. Einige Lucken, die sich hierbei ergeben haben, habe ich versucht, auszufUllen. Die Anfiinge zu dieser Arbeit reichen schon in die Zeit zuruck, als ich an der Universitat Innsbruck im Verbande mit anderen geophysikalischen Themen auch tiber Physik des Meeres Vorlesungen hielt. Meine Berufung an das Institut und Museum fUr Meereskunde an der Universitat Berlin, und meine Teilnahme an den letzten Profilen der Deutschen Atlantischen Expedition auf dem Forschungsschiff "Meteor" gaben mir Gelegenheit, mich noch eingehender mit diesen Problem en der Ozeanographie zu be fassen. Letzten Endes waren es die Vortrage, die ich fUr die wissen schaftlichen Teilnehmer und fUr die Offiziere an Bord des "Meteor" hielt, die dazu fUhrten, die hydrodynamischen Grundlagen der ozeanischen Bewegungen durchzuarbeiten und ubersichtlich zusammenzustellen. Diese Vortrage gaben so den Grundstock zu dieser "Dynamischen Ozeanographie.""

Kleins gruppentheoretischer Aufbau der Geometrie, wie er ihn zuerst 1872 in seinem "Erlanger Programm" entworfen und dann 1893 in seiner "Einleitung in die hohere Geometrie" naher ausgeftihrt hat, ist fUr die Weiterentwicklung der Geometrie, ja auch der Physik heute so wichtig und lebendig als je. So wird vielleicht manchem eine Neuausgabe dieser Vorlesungen willkommen sein. Ich habe, urn den personlichen Eindruck von Kleins Werk nicht zu verwischen, an dem frtiheren "ersten Band" nur wenig geandert und nur wenig hinzugefUgt. Hingegen habe ich den damit nur lose zusammenhangenden "zweiten Band," der eine Ein fUhrung in die Lehre von den stetigen und unstetigen Gruppen enthielt und eine vollige Umarbeitung notig gemacht hatte, weggelassen. An seine Stelle ist der "dritte Hauptteil" des vorliegenden Buches getreten, in dem einige neuere geometrische Untersuchungen dargestellt werden. Dabei haben mich mehrere befreundete Geometer untersttitzt: die Teile II und IV stammen von ]. Radon (Erlangen), III im wesentlichen von E. Artin und V von O. Schreier (Hamburg). AuGer diesen Kollegen habe ich fUr vielfache Hilfe noch zu danken den Herren L. Berwald (Prag), E. Bompiani (Bologna), H: Schatz und G. Thomsen (Hamburg). Hamburg, im Frtihjahr 1926. W. Blaschke. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung . . . 1 1. Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . . . . . 2 1,1. Funktionentheoretische Grundbegriffe. 2 1,2. Haupteinteilung der Geometrie 4 1,3. Nahere AusfUhrung hierzu 4 Erster Hauptteil. Der allgemeine Koordinatenbegriff. Punktkoordinaten . 11 2. Linearkoordinaten . . . . . . II 3. Pliickers Entwicklungen 15 4. Allgemeine krummlinige Koordinaten IS 5. Elliptische Koordinaten . . . . . ."

VI Vorwort zur dritten Auflage. GemaB dem Gesamtplane, den ich im Vorwort zur dritten Auflage des ersten Bandes tiber die Neuherausgabe meiner autographierten Vorlesungen entwickelte, sind Text und Darstellung des vorliegenden zweiten Bandes bis auf kleine Anderungen im einzelnen und wenige Einschiebungen ungeandert geblieben 1). Die beiden Zusatze, die sich auf im ursprtinglichen Texte nicht berticksichtigte Literatur wissen schaftlicher und padagogischer Art beziehen, wurden nach wieder holter Rticksprache mit mir auch dieses Mal von Herrn Seyfarth ver faBt. Dieser nahm wiederum den groBten Teil der fUr die Herausgabe notwendigen Arbeit auf sich. Beim Korrekturenlesen halfen ihm die Herren E. Hellinger, H. Vermeil und A. Walther. Herr Vermeil tibernahm die Herstellung der beiden Register. Den genannten Herren und der Verlagsfirma Julius Springer, die bei jeder Gelegenheit bereit williges Entgegenkommen zeigte, bin ich zu groBem Danke verpflichtet. G6ttingen, Mai 1925. Klein. 1) Neu hinzugefugte Anmerkungen sind durch eckige Klammern kenntlich gemacht worden. Inhaltsverzeichnis. Einleitung. Sclte Zweck und Form der Vorlesung Die "Fusionsbestrebungen" . . . 2 Erster Teil: Die einfachsten geometrischen Gebilde. I. Strecke, Flacheninhalt, Rauminhalt als relative GraBen. 3 Definition durch Determinanten; Deutung der Vorzeichen 3 Einfachste Anwendungen, insbesondere Doppelverhaltnis. 6 Inhalt geradliniger Polygone . . . . . 7 Krummlinig begrenzte Flachenstucke 10 Theorie des Amslerschen Polarplanimeters 11 Inhalte von Polyedern, das Kantengesetz 17 Einseitige Polyeder . . . . . . . . . . 19 II. Das GraBmannsche Determinantenprinzip fUr die Ebene 22 Linienteile (Vektoren) . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Anwendung in der Statik starrer Systeme . . . . . . . ."

Zwischen schulmaBiger und h6herer Betrachtung besteht in der analytischen Geometrie vielleicht ein starkerer Gegensatz als in irgend einem anderen Gebiet der Mathematik. Seine Uberwindung soUte man den Studierenden m6glichst erleichtern; am besten so, daB sie selbst die Wandlung ihrer Denkweise innerlich mitschaffend vollziehen. Dem habe ich Rechnung zu tragen gesucht. Die mir bekannten neueren Lehrbucher verfahren freilich zumeist etwas anders. Die projektive Denkweise beherrscht fUr sie von vornherein und in einheitlicher Dar stellung den Aufbau; was zugleich den baldigsten Gebrauch homogener Koordinaten mit sich bringt. Die methodische Konsequenz dieses Ver fahrens kann nicht bestritten werden. Fur das vorliegende Lehrbuch ist jedoch auBer den gebieterischen Forderungen der Wissenschaft auch die Rucksicht auf die ebenfalls gebieterischen Bedurfnisse des Lernen den bestimmend gewesen. Dies gilt insbesondere auch von der Anord nung des Stoffes. Ich hielt es fUr richtig, die sachlichen und me tho dischen Grundgedanken dem Studierenden zunachst in der inhomogenen analytischen Sprache zu vermitteln, die er mitzubringen pflegt. Immer wird ein KompromiB personlich gefarbt sein. Ich stehe nicht an zu sagen, daB ich mich wesentlich auf die Seite der Lernenden ge steUt habe; ein einfUhrendes Lehrbuch soll in erster Linie ein Lern buch sein. Unter dem Gesichtspunkt des wissenschaftlichen Aufbaues mag allerdings manches in ihm als ein Mangel erscheinen, worin ich selbst eine padagogische Notwendigkeit sehe. Von diesem Gesichts punkt aus bitte ich den kritischen Leser, Plan und AusfUhrung meiner Arbeit zu beurteilen."