234 Originalvariable x nur ganzzahlige Werte annimmt, dann ist das Integral durch eine unendliche Summe zu ersetzen. Einige der im folgenden behandelten Transformationen gehOren zu diesen beiden Typen. Da wir nUr lineare Transformationen betrachten, wird spiiter die Eigenschaft der Linearitat nicht mehr eigens erwahnt. 2. Der Hilbertsche Raum L2 Bei einer Integraitransformation HiBt man i. aUg. als Original- funktionen aUe I (x) zu, fur die das Integral existiert. Manche Eigen- schaften der Transformation lassen sich aber nUr dann exakt formu- lieren und beweisen, wenn man die I (x) auf engere Raume beschrankt, die durch innere, von der Transformation unabhangige Eigenschaften charakterisiert sind. In dieser Beziehung ist der Raum der quadratisch l integrablen Funktionen am wichtigsten . Dieser laBt sich auffassen als Analogon zu dem Euklidischen Raum Rn von n Dimensionen, in dem sich die Variablen der gew6hnlichen Funktionen bewegen. Der Rn ist dadurch ausgezeichnet, daB in ihm die Distanz zweier Punkte Xl = (Xll' ---, Xl II), X2 = (X21> --., X2 n) als die positive Wurzel aus n d (Xl, X2)2 = (Xl v - X2v)2 . -1 definiert ist. Es liegt nahe, im Raum der in dem endlichen oder unend- lichen IntervaU (a, b) definierten Funktionen die Distanz zweier Ele- 2 mente 11, 12 durch den entsprechenden Ausdruck b d (11, 12)2 = jill (X) - 12 (X) 12 dx a zu definieren. Insbesondere ist die Distanz einer Funktion I (x) vom NuUpunkt, d. h.

1m vorliegenden Bueh werden wir uns mit der Differentialgeometrie der Kurven und Flaehen im dreidimensionalen Raum besehiiftigen [2, 7]. Wir werden dabei besonderes Gewieht darauf legen, einen "ansehauliehen" Einbliek in die differentialgeometrisehen Begriffe und Satze zu gewinnen. Zu dies em Zweek werden wir, soweit sieh dies in naheliegender Weise er- mogliehen lal3t, den differentialgeometrisehen Objekten elementargeome- trisehe oder, wie wir dafiir aueh sagen wollen, differenzengeometrisehe Modelle gegeniiberstellen und deren elementargeometrisehe Eigensehaften mit differentialgeometrisehen Eigensehaften der Kurven und Flaehen in Be- ziehung bringen. Wegen dieses methodisehen Gesiehtspunktes tragt das Bueh den Titel "Differenzengeometrie". Den ersten kraftigen Anstol3 zu einer solehen "ansehauliehen Diffe- rentialgeometrie" gab der Geometer Sebastian Finsterwalder (1892-1951) in seiner Sehrift "Meehanisehe Beziehungen bei der Flaehendeformation" [ 10]. Aul3erdem haben diese Art der Differentialgeometrie aueh H. Graf [11, 13] und, in etwas anderer Weise, O. Baier [8,9] gepflegt. Der An- teil von H. Graf ist sehr erheblieh, wesentlieh umfassender als er sieh im Literaturverzeiehnis naehweisen Hil3t. Das I. Kapitel bringt zur Vorbereitung eine allgemeine Einfiihrung in die Differentialgeometrie, wobei die differenzengeometrisehe Methode nur teilweise beniitzt wird. In voUem Umfang kommt diese erst in den beiden weiteren Kapiteln zur Geltung. Das II. Kapitel behandelt spezielle Flaehen und zwar insbesondere Probleme der Verbiegungen ( = langentreue stetige Deformationen) dieser Flaehen. Den Gegenstand des III. Kapitels bildet die Theorie der sogenannten infinitesimalen Flaehenverbiegung, wobei sieh aueh projektiv-geometrisehe Beziehungen ergeben werden.

Wenn die Stromungsgeschwindigkeit eines Gases klein ist im Ver- gleich zur Schallgeschwindigkeit, kann man das Gas als inkompressibel betrachten. Die Aerodynamik fallt bei dieser Idealisierung, welche die mathematische Behandlung wesentlich vereinfacht, mit der Hydro- dynamik der Fliissigkeiten zusammen. Wir werden sehen, daB der durch Vernachlassigung der Kompressibilitat des Gases in der Kontinuitats- gleichung hervorgerufene Fehler kleiner als 1 % bleibt, wenn die Stro- mungsgeschwindigkeit etwa 1/7 der Schallgeschwindigkeit des Gases nicht iibersteigt. Bei groBeren Geschwindigkeiten, d. h. bei Zunahme des Verhaltnisses der Stromungsgeschwindigkeit zur Schallgeschwindig- keit, wird der EinfluB der Kompressibilitat auf den Stromlinienverlauf immer starker und nach Dberschreitung der Schallgeschwindigkeit treten vollig neue Erscheinungen auf. Storungen breiten sich dann nicht mehr in das ganze Stromungsfeld aus, sondern nur in ein sich stromabwartB erstreckendes Teilgebiet, und zu den stetigen Geschwindigkeits-, Dichte-, Druckanderungen usw. kommen gewisse unstetige Zustandsanderungen, die sogenannten "VerdichtungsstoBe" hinzu. Der mathematische Grund fUr dieses wesentlich verschiedene Verhalten der "UnterschalI"- und "Dberschallstromungen" liegt darin, daB die Differentialgleichungen im Unterschallgebiet ebenso wie bei den inkompressiblen Medien yom ellip- tischen, im Dberschallgebiet dagegen yom hyperbolischen Typus sind. 1m vorliegenden Buch werden fUr die Aerodynamik der "kompres- siblen Stromungen", die man kurz als "Gasdynamik" zu bezeichnen pflegt, die grundlegenden theoretischen Zusammenhange behandelt und die fiir die Praxis wichtigsten mathematischen Theorien und numerischen Berechnungsmethoden entwickelt. Zur Vereinfachung werden hierbei einige einBchrankende Voraussetzungen getroffen, insbesondere: a) Vernachlassigung der Reibung und Warmeleitfahigkeit des stro- menden Gases, b) Vernachlassigung der Schwerkraft und sonstiger auBerer Krafte.

Die Mathematik hat zwei Aspekte. Einerseits ist sie, urn ihrer selbst willen betrieben, eine Geisteswissenschaft, und zwar wegen der Art ihrer Objekte und Methoden die reinste aller Geisteswissenschaften. Anderer- seits ist sie ein unentbehrliches Werkzeug des Naturwissenschaftlers und des Ingenieurs und kann in diesem Sinn zu den Naturwissenschaften gerechnet werden. Je nachdem man den ersten oder zweiten Gesichts- punkt hervorheben will, spricht man von "reiner" oder von "angewand- ter" Mathematik. Tatsachlich aber sind beide Seiten der Mathematik untrennbar miteinander verbunden, wie das Werk groBer Mathematiker wie KARL FRIEDRICH GAUSZ (1777-1855), HENRI POINCARE (1854- 1912), CONSTANTIN CARATHEODORY (1873-1950) und vieler anderer zeigt. Seit ihren Anfangen wird die mathematische Forschung immer wieder durch Anwendungen angeregt und befruchtet und umgekehrt haben sich mathematische Theorien und Methoden, die zunachst im Bereich der "reinen" Mathematik entstanden waren, haufig spater als niitzliche Hilfsmittel fUr Probleme der "angewandten" Mathematik er- wiesen. WeIll man die Lebensadern zwischen der reinen und angewand- ten Mathematik verkiimmern lieBe, wiirde die "reine" Mathematik zu einer "abgewandten" und die "angewandte" zu einer "unreinen" Mathe- matik entarten. Die Anwendungen der Mathematik dringen gegenwartig, vor allem durch die Verwendung groBer Rechenautomaten, in immer weitere Lebensbereiche vor. So sind insbesondere in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften neue Disziplinen der angewandten Mathematik ent- standen, wie etwa die "Theorie der Spiele", "Operations Research" und "Linear Programming" 1. Vor allem aber werden in den Ingenieurwissenschaften bei dem raschen Fortschritt der modernen Technik immer umfassendere und tiefere mathematische Kenntnisse erforderlich.

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi- gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen- tialgleichung festzulegen, muB man noch gewisse zusatzliche Daten vor- schreiben. Je nach der Art dieser zusatzlichen Daten spricht man in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An- fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = 0 stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = 0 gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn man die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei- spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand- werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

Das vorIiegende Buch iiber Gasdynamik geht auf eille Vortragsreihe zuriick, die der Verfasser im Sommer 1940 in Gottingen anf Veranlassung von CARL WIESELSBERGER fUr das Aachener Aerodynamische lnstitut gehalten hat. Dem Gedachtnis dieses leider so friih verstorbenen Kollegen moge es gewidmet sein. Zweck des Buches ist es, eine zusammenfassende Darstellung zu geben fiir die in zahlreichen Zeitschriftenaufsatzen verstreuten neueren theoretischen Untersuchungen iiber die Gasstromung bei hohen Ge schwindigkeiten; der EinfluB der Kompressibilitat wird hierbei wesent lich und es kommen vollig andere Gesetze als in der gewohnlichen Aero dynamik und Hydrodjnamik ins Spiel. Die aktuelle Bedeutung dieses verhaltnismaBig jungen Zweiges der Stromungslehre fiir Luftfahrt und Ballistik liegt auf der Hand. In erster Linie wendet'sich das Buch an die im praktischen Forschungsbetrieb stehenden lngenieure und tech nischen Physiker sowie an Studierende der Aerodynamik, urn ihnen die zeitraubende und oft miihsame Durcharbeitung des Originalschrifttums zu ersparen oder \1U erleichtern. Dieser Zielsetzung entsprechend wurde soweit als moglich eine anschauliche, dem ingenieurmaBigen Denken an gepaBte Darstellungsweise erstrebt. Wie der Titel "Theoretische Einfiihrung" ausdriickt, erstreckt sich der lnhalt lediglich auf die theoretisch-mathematische Behandlung der Probleme. Die experiment ellen und meBtechnischen Fragen bleiben auBer Betracht. Weitere Beschrankungen liegen in der Voraussetzung stationarer Stromung und in der Vernachlassigung der Reibung und Warmeleitung. Dagegen werden wir uns nicht auf die ebene Stromung beschranken, sondern auch die achsensymmetrische Stromung als den praktisch wichtigsten Sonderfall der raumlichen Stromung ausfiihrlich erortern."