During the academic year 1916-1917 I had the good fortune to be a student of the great mathematician and distinguished teacher Adolf Hurwitz, and to attend his lectures on the Theory of Functions at the Polytechnic Institute of Zurich. After his death in 1919 there fell into my hands a set of notes on the Theory of numbers, which he had delivered at the Polytechnic Institute. This set of notes I revised and gave to Mrs. Ferentinou-Nicolacopoulou with a request that she read it and make relevant observations. This she did willingly and effectively. I now take advantage of these few lines to express to her my warmest thanks. Athens, November 1984 N. Kritikos About the Authors ADOLF HURWITZ was born in 1859 at Hildesheim, Germany, where he attended the Gymnasium. He studied Mathematics at the Munich Technical University and at the University of Berlin, where he took courses from Kummer, Weierstrass and Kronecker. Taking his Ph. D. under Felix Klein in Leipzig in 1880 with a thes i s on modul ar funct ions, he became Pri vatdozent at Gcitt i ngen in 1882 and became an extraordinary Professor at the University of Konigsberg, where he became acquainted with D. Hilbert and H. Minkowski, who remained lifelong friends. He was at Konigsberg until 1892 when he accepted Frobenius' chair at the Polytechnic Institute in Z rich (E. T. H. ) where he remained the rest of his 1 i fe.

Die Vorlesungen von Adolf Hurwitz uber "Allgemeine" "Funktionentheorie" " und Elliptische Funktionen" erschienen 1922 in "Band 3" der "Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften" des Springer-Verlags. Der Herausgeber R. Courant wurde dabei von C.L. Siegel unterstutzt und erganzte den Hurwitzschen Text durch einen Abschnitt "Geometrische" "Funktionentheorie." Der "Hurwitz-Courant" war sofort ein Standardwerk, das eine ausgezeichnete Ubersicht uber die Funktionentheorie von Weierstrass und Riemann gab und Generationen von Mathematikern begeisterte, die - je nach Gemutslage - dem "Hurwitz" oder dem "Courant" hochstes Lob gespendet haben. Das vorliegende Buch ist ein Nachdruck der Hurwitzschen Vorlesungen. Konrad Knopp sagte dazu: "So abgeschliffen und prazis, dass man fast zu muhelos und geradlinig an die Ziele gefuhrt wird."

Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un- abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver- mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk- tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent- wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un- tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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This is a reproduction of a book published before 1923. This book may have occasional imperfections such as missing or blurred pages, poor pictures, errant marks, etc. that were either part of the original artifact, or were introduced by the scanning process. We believe this work is culturally important, and despite the imperfections, have elected to bring it back into print as part of our continuing commitment to the preservation of printed works worldwide. We appreciate your understanding of the imperfections in the preservation process, and hope you enjoy this valuable book.

Das vorliegende kleine Werk hat den Zweck, die Zahlentheorie der Quaternionen, wie ich sie. in den Nachrichten von der Konigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen aus dem Jahre 1896 veroffentlicht habe, einem weiteren Kreise zuganglich zu machen. An jenem Orte habe ich manche Beweise nur angedeutet oder sogar ganz unterdruckt. Hier da gegen findet die Theorie eine ausfUhrliche Darstellung, bei der, abgesehen von der Vertrautheit mit der elementaren Zahlentheorie und einer gewissen Schulung des mathematischen Denkens, nichts vorausgesetzt wird. Fur die verstandnisvolle Auffassung des Gedankenganges dieser Vor lesungen ist freilich die Kenntnis der einfachsten Begriffe, die der Theorie der algebraischen Zahlkorper von Dedekind zugrunde liegen, wenn auch durchaus nicht notwendig, so doch immerhin fOrderlich. . Die Zahlentheorie der Quaternionen, die ubrigens noch manche hier nicht behandelten Probleme darbietet, bildet das erste Beispiel fiir ein weites, bisher nur wenig angebautes Gebiet zahlentheoretischer Forschung: eine entsprechende Theorie la13t sich namlich fUr jedes System mehr gliedriger komplexer Gro13en aU stellen. Es wurde mich freuen, wenn diese Vorlesungen etwa jungere Fachgenossen dazu anregen wurden, jenes Gebiet durch we it ere Untersuchungen zu fordern. Zurich, Mai 1919. A. Hurwitz. Inhaltsverzeichnis."