Es besteht heute wohl kein fUhlbarer Mangel an Biichern, welche die RlEMANNSchen Flachen zum Gegenstand haben. 1m Jahre 1953 er- schien R. NEVANLINNAs "Uniformisierung" (R. NEVANLINNA [1 *]), wo der Nachweis der fundamentalen Existenzsatze unter bewuBter Be- schrankung auf konstruktive Methoden, das sind die alternierenden Verfahren von SCHWARZ und NEUMANN, eine iiberaus klare und durch- sichtige Darstellung gefunden hat. WEYLS "Idee der RlEMANNSchen Flache" (H. WEYL [1 *]) wurde in der dritten umgearbeiteten Auflage wiederum zu einem modernen Buch. M. SCHIFFER und D. C. SPENCER publizierten ihre tiefgreifenden Untersuchungen iiber ABELsche Diffe- rentiale auf kompakten berandeten Flachen in einer umfangreichen Ab- handlung (SCHIFFER und SPENCER [1 *]), und es haben H. BEHNKE und F. SOMMER in den zwei letzten Kapiteln ihres Buches "Theorie der analytischen Funktionen einer Veranderlichen" (Springer-Verlag, Berlin 1955) die RlEMANNSchen Flachen wiederum unter einem besonderen Aspekt behandelt. DaB den genannten Biichern nun die vorliegende Monographie "Theorie der RlEMANNSchen Flachen" beigefiigt wird, findet eine Art Rechtfertigung u. a. in dem Versuch, verschiedene Methoden Existenz- beweise zu fiihren, einer vergleichenden Betrachtung zu unterziehen. Sowohl dem PERRoNschen Verfahren wie auch dem DIRICHLETschen Prinzip liegt je eine Extremalbedingung zugrunde. Bei der Methode von PERRON handelt es sich darum, geeignete Klassen von subharmoni- schen Funktionen u zu definieren, sog. PERRoNsche Klassen $, deren Supremum h = sup u eine harmonische Funktion mit vorgeschriebenen uE'P Eigenschaften ist (vgl. 6. 5 und Kap. IV A).