This book is devoted to a study of the unit groups of orders in skew fields, finite dimensional and central over the rational field; it thereby belongs to the field of noncommutative arithmetic. Its purpose is a synopsis of results and methods, including full proofs of the most important results. It is addressed to researchers in number theory and arithmetic groups.

Das Kontinuum ist seit Aristoteles ein Gegenstand philosophischen Denkens, seit Leibniz auch mathematischer Theorie. Das heute gangige Standardmodell, das reelle Zahlensystem, das der klassischen Analysis und den physikalischen Weltmodellen zugrunde liegt, ist weder das erste noch das letzte Wort der Mathematik zu diesem Thema. Das vorliegende Buch unternimmt es, in reprasentativer Auswahl Revue passieren zu lassen, was die Mathematik bisher zu ihm hervorgebracht hat, von der Proportionenlehre des Eudoxos bis zum synthetischen Infinitesimalkalkul und den Conwayzahlen; das Standardmodell, in den Grundvorlesungen meist axiomatisch eingefuhrt, wird dabei aus den mengentheoretischen Axiomen, also vom Ausgangspunkt (fast) aller heutigen Theorie konstruiert. Gleichzeitig wird versucht, den Gegenstand und seine Entwicklung in philosophische und historische Zusammenhange zu stellen. Der Text eignet sich als Grundlage fur Vorlesungen und Seminare, aber auch zum Selbststudium fur jeden, der eine mathematische Grundausbildung absolviert hat. Der Verfasser lehrt Zahlentheorie an der Universitat Hamburg.

0 Basic Facts.- 1 Hey's Theorem and Consequences.- 2 Siegel-Weyl Reduction Theory.- 3 The Tamagawa Number and the Volume of G(?)/G(?).- 3.1 Statement of the main result.- 3.2 Proof of 3.1.- 3.3 The volume of G(?)/G(?).- 4 The Size of ?.- 4.1 Statement of results.- 4.2 Proofs.- 5 Margulis' Finiteness Theorem.- 5.1 The Result.- 5.2 Amenable groups.- 5.3 Kazhdan's property (T).- 5.4 Proof of 5.1; beginning.- 5.5 Interlude: parabolics and their opposites.- 5.6 Continuation of the proof.- 5.7 Contracting automorphisms and the Moore Ergodicity theorem.- 5.8 End of proof.- 5.9 Appendix on measure theory.- 6 A Zariski Dense and a Free Subgroup of ?.- 7 An Example.- 8 Problems.- 8.1 Generators.- 8.2 The congruence problem.- 8.3 Betti numbers.- References.