Collecting information previously scattered throughout the vast literature, including the author's own research, Stochastic Relations: Foundations for Markov Transition Systems develops the theory of stochastic relations as a basis for Markov transition systems. After an introduction to the basic mathematical tools from topology, measure theory, and categories, the book examines the central topics of congruences and morphisms, applies these to the monoidal structure, and defines bisimilarity and behavioral equivalence within this framework. The author views developments from the general theory of coalgebras in the context of the subprobability functor. These tools show that bisimilarity and behavioral and logical equivalence are the same for general modal logics and for continuous time stochastic logic with and without a fixed point operator. With numerous problems and several case studies, this book is an invaluable study of an important aspect of computer science theory.

This textbook addresses the mathematical description of sets, categories, topologies and measures, as part of the basis for advanced areas in theoretical computer science like semantics, programming languages, probabilistic process algebras, modal and dynamic logics and Markov transition systems. Using motivations, rigorous definitions, proofs and various examples, the author systematically introduces the Axiom of Choice, explains Banach-Mazur games and the Axiom of Determinacy, discusses the basic constructions of sets and the interplay of coalgebras and Kripke models for modal logics with an emphasis on Kleisli categories, monads and probabilistic systems. The text further shows various ways of defining topologies, building on selected topics like uniform spaces, Goedel's Completeness Theorem and topological systems. Finally, measurability, general integration, Borel sets and measures on Polish spaces, as well as the coalgebraic side of Markov transition kernels along with applications to probabilistic interpretations of modal logics are presented. Special emphasis is given to the integration of (co-)algebraic and measure-theoretic structures, a fairly new and exciting field, which is demonstrated through the interpretation of game logics. Readers familiar with basic mathematical structures like groups, Boolean algebras and elementary calculus including mathematical induction will discover a wealth of useful research tools. Throughout the book, exercises offer additional information, and case studies give examples of how the techniques can be applied in diverse areas of theoretical computer science and logics. References to the relevant mathematical literature enable the reader to find the original works and classical treatises, while the bibliographic notes at the end of each chapter provide further insights and discussions of alternative approaches.

Coalgebraic logic is an important research topic in the areas of concurrency theory, semantics, transition systems and modal logics. It provides a general approach to modeling systems, allowing us to apply important results from coalgebras, universal algebra and category theory in novel ways. Stochastic systems provide important tools for systems modeling, and recent work shows that categorical reasoning may lead to new insights, previously not available in a purely probabilistic setting.

This book combines coalgebraic reasoning, stochastic systems and logics. It provides an insight into the principles of coalgebraic logic from a categorical point of view, and applies these systems to interpretations of stochastic coalgebraic logics, which include well-known modal logics and continuous time branching logics. The author introduces stochastic systems together with their probabilistic and categorical foundations and gives a comprehensive discussion of the Giry monad as the underlying categorical construction, presenting many new, hitherto unpublished results. He discusses modal logics, introduces their probabilistic interpretations, and then proceeds to an analysis of Kripke models for coalgebraic logics.

The book will be of interest to researchers in theoretical computer science, logic and category theory.

Eine schrittweise Einfuhrung mit vieln Ubungsaufgaben in die allgemeinen Konzepte des strukturierten und objektorientierten Programmierens. Die praktische Anwendung erfolgt anhand von Beispielentwicklungen in der Programmiersprache Java. Hervorragend geeignet auch fur Anfanger."

Erzeugende Funktionen sind ein wichtiges Werkzeug in der Kombinatorik und der Theoretischen Informatik. Das Buch zeigt an vielen Beispielen, wie man dieses Werkzeug verwendet, mit dem eine Folge reeller Zahlen durch eine einzige Funktion reprasentiert wird. Es wird eine Einfuhrung in die Technik der Gewinnung und der Manipulation erzeugender Funktionen gegeben; wichtige Folgen und ihre korrespondierenden Funktionen werden behandelt.

Dieses Buch macht einen Spaziergang durch die vielfaltige Welt der Zahl Drei. Sie zeigt sich hierbei in vielen unterschiedlichen Verkleidungen, denn von der Musik uber die bildende Kunst bis hin zur Geschichte spielt die Drei eine wichtige, meist unverzichtbare Rolle. Das Buch geht darauf ein und zeigt, dass diese Zahl bemerkenswerte Eigenschaften hat, die auch Nicht-Mathematikern zuganglich sind und die hier im leichten Ton des Spaziergangers ausgebreitet werden: Musikalische Harmonien werden mathematisch gedeutet, die Konstruktion von Fraktalen wird durch einfache Programme demonstriert, ein beruhmtes Gemalde der italienischen Renaissance wird in Bezug auf die Drei analysiert, die antike chinesische Wehrtechnik wird mit moderner, effizienter Computerarithmetik zusammengefuhrt. Papierfaltungen, die Heiligen Drei Koenige sowie die papstliche Tiara durfen hier naturlich nicht fehlen. Der mathematischen Sorgfalt, der Vorgehensweise und den Techniken der Mathematik wird besonderes Augenmerk gewidmet, ohne dass der Text durch mathematische Einzelheiten uberladen wird. So wird aus der Diskussion der Zahl Drei ein Streifzug durch vertrautes Gelande mit unerwarteten Ausblicken.

wir die Sprache als Vehikel nutzt - dort werden jedoch Elemente der disk: reten Mathematik transportiert. Da Fragen des Prototyping im Vordergrund stehen, haben wir zwei in SETL vOIhandene Mechanismen hier nicht behandelt: die data representation sublanguage (DRSL) und Back tracking. Die DRSL erlaubt die Deldaration von Variablen mit ihrer Speicherdarstellung (analog zur Variablendeldaration in Sprachen wie Pascal); sie ist in der gegenwartigen Fonn nicht besonders nUtzlich. Backtracking als nicht-deterministisches Programmieren hat noch keinen Eingang in den Werkzeugkasten des Software Prototyping gefunden und wurde daher auch nicht behandelt. Ansonsten haben wir eine vollstandige EinfUluung in SETL gegeben; ein kurzer Uberblick uber den Inhalt folgt. Das erste Kapitel behandelt die zentralen primitiven Kontroll- und Datenstrukturen und zeigt, wie Makros und Prozeduren definiert und benutzt werden. Wtr wenden das auf die Konstruktion eines Scanners fOl Pascal-Programme an, urn zu zeigen, daB man hiermit schon sinnvolle Probleme bearbeiten kann. Im zweiten Kapitel werden zusammengesetzte Datentypen (Mengen, Thpel, Abbildungen) behandelt, und die notwendigen Erganzungen im Hinblick auf Kontrollstrukturen angebracht. Kapitel m wendet dann die Sprache auf einige Probleme an, urn dem Leser ein vertieftes Geftlhl fur den Umgang mit SETL zu geben. Wir diskutieren den Algorithmus von Knuth, Morris und Pran zum Auffinden von Mustem in Zeichenketten, ein Verfahren zurn dynamischen Hashing, und spezifizieren einen Parsergenerator fur eine einfache Klasse kontextfreier Grammatiken. Insbesondere das letzte Beispiel zeigt, wie sich komplexe Algorithmen kompakt und verstandlich in SETL fonnulieren lassen."

Collecting information previously scattered throughout the vast literature, including the authora (TM)s own research, Stochastic Relations: Foundations for Markov Transition Systems develops the theory of stochastic relations as a basis for Markov transition systems.

After an introduction to the basic mathematical tools from topology, measure theory, and categories, the book examines the central topics of congruences and morphisms, applies these to the monoidal structure, and defines bisimilarity and behavioral equivalence within this framework. The author views developments from the general theory of coalgebras in the context of the subprobability functor. These tools show that bisimilarity and behavioral and logical equivalence are the same for general modal logics and for continuous time stochastic logic with and without a fixed point operator.

With numerous problems and several case studies, this book is an invaluable study of an important aspect of computer science theory.