Die Entstehungsgeschichte dieses Buches reicht bis in den zweiten Weltkrieg zurtick. Damals plante ein Kreis von Funktionentheoretikern, dem u. a. v. KOPPENFELS, KRAMES, ULLRICH und WEGNER angehorten, ein umfassendes Sammelwerk tiber die konforme Abbildung aufzustellen, und als ein erstes Teilergebnis konnte v. KOPPENFELS gegen Kriegsende ein Manuskript tiber die "Systematik der Polygonabbildungen" ab- schlieBen. Die Wirren der Nachkriegszeit und vor allem der allzufrtihe, tragische Tod von v. KOPPENFELS unterbrachen die Arbeiten fUr lange Zeit. 1m Jahre 1953 tibernahmen dann E. ULLRICH und ich durch Vertrag mit dem Springer-Verlag die Aufgabe, das v. Koppenfelssche Manu- skript zusammen mit eigenen Beitragen zu einem Buch tiber die Praxis der konformen Abbildung auszugestalten. Durch den Tod von E. ULLRICH im Jahre 1957 ging diese Aufgabe an mich alleine tiber und das Ergebnis ist das vorliegende Buch. Nach dem ursprtinglichen Plan sollte ein reines Nachschlagewerk geschaffen werden, etwa in der Art von Kamkes Buch tiber Differential- gleichungen. Demgegentiber hat schon das v. Koppenfelssche Manuskript und spater auch der eigene Beitrag einen mehr lehrbuchartigen Charakter angenommen. Dies liegt wohl hauptsachlich daran, daB das Gebiet der konformen Abbildung (und insbesondere das der "Praxis" der konformen Abbildung) stofflich viel enger begrenzt ist als das der Differential- gleichungen, so daB es hier vie! mehr auf die vertiefte Einsicht in die Zusammenhange ankommt als auf die Kenntnis einer groBen Zahl von Satzen und Methoden. Das Buch enthalt daher auch nur we- nige Literaturangaben.