for example, the so-called Lp approximation, the Bernstein approxima tion problem (approximation on the real line by certain entire functions), and the highly interesting studies of J. L. WALSH on approximation in the complex plane. I would like to extend sincere thanks to Professor L. COLLATZ for his many encouragements for the writing of this book. Thanks are equally due to Springer-Verlag for their ready agreement to my wishes, and for the excellent and competent composition of the book. In addition, I would like to thank Dr. W. KRABS, Dr. A. -G. MEYER and D. SCHWEDT for their very careful reading of the manuscript. Hamburg, March 1964 GUNTER MEINARDUS Preface to the English Edition This English edition was translated by Dr. LARRY SCHUMAKER, Mathematics Research Center, United States Army, The University of Wisconsin, Madison, from a supplemented version of the German edition. Apart from a number of minor additions and corrections and a few new proofs (e. g., the new proof of JACKSON'S Theorem), it differs in detail from the first edition by the inclusion of a discussion of new work on comparison theorems in the case of so-called regular Haar systems ( 6) and on Segment Approximation ( 11). I want to thank the many readers who provided comments and helpful suggestions. My special thanks are due to the translator, to Springer-Verlag for their ready compliance with all my wishes, to Mr."

Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige Tell der Approximations- theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro- nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange- zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen- stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick- lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll- stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur- ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des 3, denn ich bin der Meinung, daB man sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. Fast ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich- miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak- tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der 3 ent- hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.