Die Laplace-Transformation, die in viele mathematische Gebiete als wirksames Instnunent eingreift, erfreut sich seit etwa zwei Jahr- zehnten besonders als Hilfsmittel zur Loesung von gewoehnlichen und partiellen Differentialgleichungen einer wachsenden Wertschatzung. Bei den Praktikern, d. h. den mit mathematischen Hilfsmitteln arbeiten- den Ingenieuren, hat die von ihr gelieferte Methode deshalb rasch Eingang gefunden, weil sie mit dem hauptsachlich von den Elektrotechnikern wegen seiner formalen Einfachheit viel benutzten "Heaviside-Kalkul" eng zusammenhangt. Wahrend aber dieser nicht begrundet war und nur auf heuristischen Erwagungen beruhte, bietet die Methode der Laplace-Transformation voellige Sicherheit und geht uberdies weit uber den "Heaviside-Kalkul" hinaus, ohne ihm hinsichtlich Einfachheit und Zwangslaufigkeit der Handhab..ung nachzustehen. Die Methode selbst ist in den letzten Jahren mehrfach in Buch- form dargestellt worden (siehe den Literaturnachweis zu Beginn des I. Teiles). Um aber schnell und zuverlassig mit illr arbeiten zu koennen, braucht man ein umfangreiches Verzeichnis von Funktionen mit ihren zugehoerigen Laplace-Transfonnierten, also von sogenannten "Korrespon- denzen". Ein solches will die vorliegende Veroeffentlichung in ihrem II. Teil bieten. Die Sammlung ist die bisher umfangreichste ihrer Art und enthalt fast 800 Korrespondenzen. Massgebend fur das Abstecken ihrer Grenzen war immer der Gesichtspunkt der praktischen Brauchbarkeit. Dieser war auch bestimmend dafur, dass manchmal neben einer allgemeinen Formel noch Spezialfalle aufgefuhrt wurden. - Durch Anwendung der unter der Oberschrift, .Operationen" angegebenen Regeln kann man aus den Korrespondenzen der Tabellen beliebig viele weitere ableiten.

234 Originalvariable x nur ganzzahlige Werte annimmt, dann ist das Integral durch eine unendliche Summe zu ersetzen. Einige der im folgenden behandelten Transformationen gehOren zu diesen beiden Typen. Da wir nUr lineare Transformationen betrachten, wird spiiter die Eigenschaft der Linearitat nicht mehr eigens erwahnt. 2. Der Hilbertsche Raum L2 Bei einer Integraitransformation HiBt man i. aUg. als Original- funktionen aUe I (x) zu, fur die das Integral existiert. Manche Eigen- schaften der Transformation lassen sich aber nUr dann exakt formu- lieren und beweisen, wenn man die I (x) auf engere Raume beschrankt, die durch innere, von der Transformation unabhangige Eigenschaften charakterisiert sind. In dieser Beziehung ist der Raum der quadratisch l integrablen Funktionen am wichtigsten . Dieser laBt sich auffassen als Analogon zu dem Euklidischen Raum Rn von n Dimensionen, in dem sich die Variablen der gew6hnlichen Funktionen bewegen. Der Rn ist dadurch ausgezeichnet, daB in ihm die Distanz zweier Punkte Xl = (Xll' ---, Xl II), X2 = (X21> --., X2 n) als die positive Wurzel aus n d (Xl, X2)2 = (Xl v - X2v)2 . -1 definiert ist. Es liegt nahe, im Raum der in dem endlichen oder unend- lichen IntervaU (a, b) definierten Funktionen die Distanz zweier Ele- 2 mente 11, 12 durch den entsprechenden Ausdruck b d (11, 12)2 = jill (X) - 12 (X) 12 dx a zu definieren. Insbesondere ist die Distanz einer Funktion I (x) vom NuUpunkt, d. h.

st Die Laplacesche Integraltransformation J e- F(t) dt kann als das kontinuierliche Analogon zur Dirichletschen Reihe .: E a"e-}'''s und zur Potenzreihe .: E en z" = .: E c" e-ns betrachtet werden. Wahrend jedoch diese Reihen langst zum Allgemeingut der Mathematiker geh6ren und in den verschiedensten Gebieten angewandt werden, ist die Laplace-Trans formation nur einem kleinen Kreis wirklich gelaufig, was urn so be dauerlicher ist, als sie an Verwendungsfahigkeit jene Reihen, die sie als Spezialfaile enthalt, noch weit tibertrifft. DaB die Laplace-Transfor mation, obwohl sie auf ein viel h6heres Alter als die Dirichletsche Reihe zuriickblicken kann, sich bisher so wenig eingebtirgert hat, liegt in erster Linie daran, daB bisher eine zusammenfassende Darsteilung ihrer Theorie fehlte. Das Material ist tiber die ganze Zeitschriftenliteratur verstreut und oft in andere Untersuchungen eingebettet, wo man es kaum ver mutet; vieles steht in alteren Jahrgangen schwer zuganglicher Zeit schriften. Dazu kommt, daB manche grundlegende Satze der Theorie zwar den Kennern geHiufig sind, sich aber nirgends explizit formuliert, noch weniger bewiesen finden. Auch das explizit Ausgesprochene und Bewiesene leidet haufig darunter, daB die Beweise unzulanglich oder nicht in wtinschenswertem Umfang gefiihrt sind. Aile diese Umstande lieBen bei der wachsenden Bedeutung der Laplace-Transformation den \iVunsch nach einer Darsteilung immer fiihlbarer werden, die einerseits die theoretischen Grundlagen der Transformation ausfiihrlich und ein heitlich zusammenstelit, und andererseits zeigt, in welchen Gebieten sie bisher mit Erfolg angewandt worden ist. Man kann heute innerhalb dessen, was zur Laplace-Transformation zu rechnen ist, drei Richtungen unterscheiden."