With this translation, the classic monograph UEber die Klassenzahl abelscher Zahlkoerper by Helmut Hasse is now available in English for the first time. The book addresses three main topics: class number formulas for abelian number fields; expressions of the class number of real abelian number fields by the index of the subgroup generated by cyclotomic units; and the Hasse unit index of imaginary abelian number fields, the integrality of the relative class number formula, and the class number parity. Additionally, the book includes reprints of works by Ken-ichi Yoshino and Mikihito Hirabayashi, which extend the tables of Hasse unit indices and the relative class numbers to imaginary abelian number fields with conductor up to 100. The text provides systematic and practical methods for deriving class number formulas, determining the unit index and calculating the class number of abelian number fields. A wealth of illustrative examples, together with corrections and remarks on the original work, make this translation a valuable resource for today's students of and researchers in number theory.

From the reviews: "...a fine book ... treats algebraic number theory from the valuation-theoretic viewpoint. When it appeared in 1949 it was a pioneer. Now there are plenty of competing accounts. But Hasse has something extra to offer. This is not surprising, for it was he who inaugurated the local-global principle (universally called the Hasse principle). This doctrine asserts that one should first study a problem in algebraic number theory locally, that is, at the completion of a vaulation. Then ask for a miracle: that global validity is equivalent to local validity. Hasse proved that miracles do happen in his five beautiful papers on quadratic forms of 1923-1924. ... The exposition is discursive. ... It is trite but true: Every number-theorist should have this book on his or her shelf." (Irving Kaplansky in Bulletin of the American Mathematical Society, 1981)

Die a1gebraische Zahlentheorie hat sich aus den ersten Ansatzen bei G a 11 Il unter den Hinden der groBen Meister des vergangenen und dieses Jahrhunderts zu einem gewaltigen Lehrgebaude entwickelt, das heute iiberreich an allgemeinen Satzen, beherrsohenden methodischen Gesichtspunkten und tiefen strukturellen Einsichten im wesentlichen abgeschlossen dasteht. Die erste Phase dieser Ent wicklung hat Hilbert 2] in seinem beriihmten Bericht iiber die Theorie der alge bra. ischen Zahlkorperl) zusammenfassend dargestellt. Dieser Bericht bringt in seinen . ersten beiden Teilen die allgemeinen Grundlagen der Theorie und geht dann in weiteren drei Teilen auf drei spezielle Typen algebraischer Zahlkorper des naheren ein, namlich auf die quadratischen Zahlkorper, die Kreiskorper und die Kummerschen Zahlkorper. Vom heutigen Standpunkt aUi gesehen fiihren diese letzten drei Teile des Hilbertschen Zahlberichts Spezialfalle del. allgemeinen Theorie der relativ-abelschen Zahlkorper durcb. Sie leiten die zweite Phase der Entwicklung ein, zu der Hilbert selbst mit seiner kiihnen Konzeption des KlassenkorperbegrifJs und der Hauptsatze der Klassenkorpertheorie den Anstoll gab. Diese zweite Phase, die Theorie der relativ-abelschen Zahlkorper, in der die Klassenkorpertheorie in voller Allgemeinheit entwickelt und auf die Herleitung des allgemeinsten Reziprozitatsgesetzes angewandt wird, habe ich 1] im AnschluB an l Hilberts Zablbericbt in einem dreiteiligen Bericht ) zusammenfassend dargestellt. Bei dieser ganzen Entwicklung, die von allgemeinen theoretischen, struktu rellen, methodischen und systematischen Gesichtspunkten geleitet wurde, ist nun aber das jedem echten Zahlentheoretiker eigene Bediirfnis nach expliziter Be heuschung des behandelten Gegenstandes bis zur Durchfiibrung numerischer Bei spiele stark in den Hintergrund getreten."