Dieses Essential gibt eine kompakte Einfuhrung in die Dimensionstheorie. Die topologische Dimension und mehrere fraktale Dimensionen werden definiert und anhand von Beispielen erlautert. Lesende lernen grundlegende Satze uber die Dimension von kartesischen Produkten, Projektionen, Schnitten und arithmetischen Summen kennen. Weiterhin wird eine Vielfalt von Anwendungen der Dimensionstheorie in der Zahlentheorie, der Geometrie, der Analysis, den dynamischen Systemen und der Stochastik vorgestellt.

Dieses essential gibt eine kompakte Einfuhrung in die Ergodentheorie, die Dynamische Systeme mit Methoden der Masstheorie untersucht. Lesende lernen wundervolle Resultate von herausragenden Mathematikern des 20. Jahrhunderts kennen. Eine Fulle von Beispielen Dynamischer Systeme mit invarianten und ergodischen Massen werden beschrieben. Zusatzlich finden sich grossartige Anwendungen der Ergodentheorie in der Zahlentheorie.

Welche Art von Gegenstanden untersucht die Mathematik und in welchem Sinne existieren diese Gegenstande? Warum durfen wir die Aussagen der Mathematik zu unserem Wissen zahlen und wie lassen sich diese Aussagen rechtfertigen? Eine Philosophie der Mathematik versucht solche Fragen zu beantworten. In dieser Einfuhrung stellen wir massgebliche Positionen in der Philosophie der Mathematik vor und formulieren die Essenz dieser Positionen in moeglichst einfachen Thesen. Der Leser erfahrt, auf welche Philosophen eine Position zuruckgeht und in welchem historischen Kontext diese entstand. Ausgehend von Grundintuitionen und wissenschaftlichen Befunden lasst sich fur oder gegen eine These in der Philosophie der Mathematik argumentieren. Solche Argumente bilden den zweiten Schwerpunkt dieses Buchs. Das Buch soll den Leser dazu anregen, uber die Philosophie der Mathematik nachzudenken und eine eigene Position zu formulieren und fur diese zu argumentieren. Die zweite Auflage ist vollstandig durchgesehen und um ein Kapitel zum Idealismus erganzt.

Dieses Buch ist ein wichtiges studienbegleitendes Hilfsmittel fur alle, die Mathematik-Lehrveranstaltungen besuchen. Die Lekture dieses Buch ermoeglicht Ihnen, begriffliche Sicherheit fur Mathematik-Vorlesungen und Prufungen aufzubauen. Die Lekture jedes Kapitel dieses Buches erlaubt Ihnen, einen UEberblick uber die Begriffe eines Teilgebiets der Mathematik zu erhalten und diese Begriffe nachhaltig zu erfassen. Wenn Sie als Student einen mathematischen Begriff nicht richtig verstehen oder sich an seine Definition nicht erinnern, koennen Sie in diesem Buch nachschlagen und erhalten durch paradigmatische Beispiele und Bilder ein fundiertes Verstandnis des Begriffs. Arbeiten Sie ein Kapitel dieses Buches in Vorbereitung einer Prufung durch, so koennen Sie sich in begrifflicher Hinsicht in der Prufung sicher fuhlen. Insgesamt finden sich in diesem Buch mehr als tausend Definitionen von Begriffen aus vierzehn Teilgebieten der Mathematik. Die Auswahl der Begriffe orientiert sich in jedem Kapitel an den Vorlesungen zum behandelten Thema, die an deutschen Hochschulen gehalten werden. Alle wesentlichen Begriffe, die in Mathematik-Vorlesungen in Bachelorstudiengangen vorkommen und auch alle grundlegenden Begriffe der Mathematik-Vorlesungen in Masterstudiengangen sind in diesem Buch enthalten. Dieses Buch stellt also einen Kanon mathematischer Begriffe vor, der auch fur Lehrende von Interesse ist. Die 2. Auflage ist vollstandig durchgesehen und um acht neue Abschnitte zu weiterfuhrenden Themen wie etwa Simplizialkomplexen und Homologiegruppen sowie Differenzialformen erweitert.