'Von Zeit zu Zeit sind in der Weltgeschichte hochbegabte Naturen hervor- getreten, die durch die schopferische Kraft ihrer Gedanken und durch die Energie ihres Wirkens einen so hervorragenden EinfluB ausgeubt haben, daB sie in der geistigen Entwicklung wie Marksteine dastehen und der Menschheit wie Leitsterne vorschweben. ' So etwa beginnt das Buch, das SARTORIUS VON W AL TERSHAUSEN GAUSS zum Gedachtnis geschrieben hat. Und eine so weite Umschau kann auch der nicht entbehren, der Leistung und Wirkung HILBERTS wurdigen mochte. Denn auch HILBERT war und ist ein princeps mathematicorum nicht nur dank dem Gewicht des von ihm Vollendeten, sondern ebenso dank der Strahlungs- kraft seiner Einsicht, in welcher Ordnung des mathematisch Erforschbaren neu hervortrat und sich nach wesentlichen Zielen und methodischen Aufgaben gliederte. SARTORIUS berichtet uns, daB GAUSS von den Mathematikern der Antike ARCHIMEDES am hochsten schatzte und als uberragendes Genie der neueren Zeit NEWTON - summus NEWTON, sagte er gern - verehrte. Das ist gewiB der Ursprung fur die ZusammensteHung dieser beiden GroBen mit GAUSS zu einer Art Denkmal, das uns allen bekannt ist und das sogar von Englandern als be- rechtigt anerkannt wird. Aber beachten wir, daB die Zusammenstellung der Drei das ihnen Gemeinsame und damit einen Zweig der Mathematik, die Analysis als Mittel der Naturerkenntnis, betont und so zugleich eine Auffassung der Mathe- matik reprasentiert - die Auffassung namlich, die im Zeitalter der klassischen Physik maBgeblich war.

Ich mochte denkend den Weg zu GOETHES Naturauffassung bahnen, oder genauer, ich mochte mich mit GOETHES Gedanken iiber Vernunft und Natur vertraut machen und iiberlegen, ob ich dabei nicht auch zu Einsich- ten komme, die ich mir verbindlich aneignen darGBP. Dieser Absicht kann man entgegenhalten, daB GOETHES Naturauf- fassung ein Teil seiner Weltanschauung ist, daB diese Weltanschauung weder aus der Epoche, in welcher sie entstand, noch aus der Welt des Dichters, in der sie sich bildete, gelost werden darf und daB wir diese in sich geschlossene Gestalt nur in hermeneutischem Bemiihen um das Erlebnis, aus dem sie erbliihte, verstehen und als Gestalt in der Geschichte des Gei- stes uns aneignen konnen. Man kann ferner einwenden, daB GOETHES Kritik an NEWTON ja nicht berechtigt war, daB GOETHE aber auf dieser Kritik beharrte und beharren muBte, wenn er seine Auffassung retten wollte, und daB unser V orhaben also von vornherein zum Scheitern ver- urteilt sei. Nun bin ich aber durch Denken - ich meine in der Bemiihung um die Klarung der einfachen Schritte des selbstgewissen Denkens - zu der Meinung gekommen, daB ich mich denkend nicht verantwortlich aus der Wahrnehmung losen kann, wie DESCARTES es zu konnen meinte, und daB ich nicht recht weiB, was Wahrnehmen ist und was in der Wahrnehmung eigentlich in Erscheinung tritt. Und ich habe den Eindruck, daB sich bei GOETHE eine Anleitung zu unbefangenerem Wahrnehmen GBPlnden laBt.

Ein gutes Verfahren, reine Mathematik kennenzulernen, ist - ein mathematisches Buch in die Hand zu nehmen und zu lesen. Es ist moglich, auf diese Weise in mathematisches Denken zu kommen ohne Reflexion iiber dies Denken. Aber da die Mathematik auch anwendbar ist, fiihren viele Wege von vorweisbaren Sachverhalten her zur Mathe- matik, und auf solchen Wegen sich der Mathematik anzunahern, mag um so wertvoller sein, als man dabei nach Mathematischem zu fragen lernt und fertige Theorien dann vielleicht besser wiirdigen kann. Bei einer solchen Annaherung stellen sich aber immer Gedanken iiber das Denken seiber ein und diese Gedanken haben ihre eigenen Gefahren. Sofern sie nur eine Annaherung vorbereiten, die dann in medias res fiihrt und die Mathematik so wie sie ist und sein solI zu W orte kommen laBt, ist alles gut. Aber Anleitungen machen um der Verstandlichkeit willen gern in einem Vorstadium halt, das sich womoglich noch als lebendig und dem reinen mathematischen Denken als iiberlegen anempfiehlt. Aus diesem Vorbezirk nahrt die Legende, das mathematische Denken der Neuzeit sei wesentlich von dem der Antike verschieden, ihre Lebenskraft. Fiir Nichtmathematiker, insbesondere solche mit philosophischen Neigungen, scheint diese Legende eine unwiderstehliche Glaubwiirdigkeit zu be- sitzen. Sie hii. ngt mit der Meinung zusammen, daB die neuere Mathematik die Anschauung als Quelle mathematischer Erkenntnis vernachlassige.

Die drei ersten Kapitel des vorliegenden Buches behandeln die unendlichen Gruppen, die vier weiteren Kapitel die Strecken und Flii. chenkomplexe und insbesondere die zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Diese Stoffauswahl 111Bt sich aus versehiedenen Grunden rechtfertigen. In erster Linie lag mir daran, den tiefgehenden Zusammen hang zwischen Gruppen und Komplexen herauszuarbeiten. Die enge Beziehung dieser heiden Gebiete ist schon seit den grund legenden Arbeiten HENBI PomoABl : s bekannt. W enn sie in der W eiterentwicklung der kombinatoriscben Topologie nicht immer mit nachdriicklicher Deutlichkeit hervortritt, so lag das an den Schwierigkeiten jener Probleme, in denen sich Gruppentheorie und Topologie beriihren: Es mochte unfruchtbar erscheinen, Beziehungen nachzugehen, die zunachst nur ungeli: lste topologische Fragen in ungeli: lste gruppentheoretische -Frage zu iibersetzen erlaubten. Solcbe Bedenken waren heute nicht mehr gerechtfertigt. Seitdem sich Erzeugende und dehnierende Relationen von. Untergruppen einer durch Erzeugende und Relationen erklarten Gruppe bestimmen lassen, bildet die Gruppentheorie fiir den Topologen ein ertrag reiches Reeheninstrument, mit dem sich viele bisber unzugangliche Fragen einer systematischen Untersuchung unterwerfen lassen. Um gekehrt bieten .die Komplexe wertvolle MiSglichkeiten, gruppen theoretische Sii. tze anschaulich zu deuten und geometrische Ein sichten fiir die Gruppen fruchtbar zu machen; z. B. geben die ebenen Komplexe iiber die Struktur der ebenen diskontinuierlichen Gruppen Auskunft. Vorwort vm Derilentsprechend babe ich .die Theorie der durch Erzeugeude und definierende Relationen erklarten Gruppen mBglichst."

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Wer fahig ist, schafft, wer unfahig ist, lehrt. B. Shaw, Mensch und Obermensch. Erstens, zur Abschrift fiir Besprecher. Wahrend im ersten Bandchen dieses Lehrbuchs - von kleinen Seitenspriingen abgesehen - ausgetretene und wohlmarkierte Wege begangen wurden, wird hier der Versuch gewagt, einen neuen Pfad zu beschreiten. Es werden soIche Eigenschaften der Figuren untersucht, die gegeniiber Affinitaten, das heiBt Kollineationen mit Erhaltung des Parallelismus. invariant sind. Dabei handelt es sich in der Hauptsache um differentialgeometrische Eigenschaften und urn Aufgaben iiber Extreme, also Beispiele zur Variationsrechnung. Wir hoffen zeigen zu konnen: Der klassischen Differentialgeometrie weitgehend ahnlich laBt sich eine affine Differentialgeometrie aufbauen, die sich, was Buntheit ihrer Hilfsmittel und Ergebnisse angeht, neb en der klassischen sehen lassen kann und ein weites Feld lohnender Untersuchungen darbietet. Zweitens, Winke fiir Leser. Wir haben versucht, die einzelnen Teile dieses aus Hamburger Vorlesungen entstandenen Buches moglichst unabhangig zu gestalten. Man kann sich also darauf beschranken, mittels der ausfiihrlichen Verzeichnisse einzelne Rosinen herauszuholen. Insbesondere ist die Flachentheorie ohne Kenntnis der vorausgehenden Untersuchungen iiber Kurven lesbar, und wer das Allgemeine liebt, kann im fiinften Kapitel gleich mit den Tensoren beginnen. Der Liebhaber des Speziellen sei insbesondere auf die Aufgaben verwiesen, die jedem Kapitel beigegeben sind. Drittens, Ehrenbezeugungen. Die erste, ehrfurchtsvollste Verbeugung Herrn F. Klein Von ihm stammt die auf dem Begriff der stetigen Transformationsgruppen beruhende geometrische Denkart, die allem Folgenden zugrunde liegt.

Das vorliegende Buch ist den Grundlagen der linearen Geometrie gewidmet. 1m ersten Teil wird, der Idee des Erlanger Programms von FELIX KLEIN gemaB, die Kongruenz und Invarianz beziiglich beliebiger Gruppen von Transformationen diskutiert und nach Erorterung der Korperaxiome die n-dimensionale lineate Geometrie iiber Schiefkorpem aus den Gruppen linearer Transformationen erkl1irt. DaB der gruppen- theoretische Aufbau hier zu den Grundlagen gezahlt ist, wird, hoffe ich, durch die logisch exakten Formulierungen in Kapitell gerechtfertigt. 1m zweiten Teil handelt es sich um die Axiomatik der ebenen linearen Geometrie, im wesentlichen also urn die Auswertung des Satzes von DESARGUES und des Satzes von PASCAL. Die Bedeutung dieser Satze fUr die affine Geometrie ist vor allem durch HILBERTS klassisches Werk iiber die Grundlagen der Geometrie klargestellt. Der DESARGUESSche Satz besagt, daB die Streckenverhaltnisse der Ebene einen Schief- korper bilden, der PAscALsche Satz besagt, daB sie einen Korper bilden. Der Beweis fUr diese beiden Tatsachen laBt sich aber auf mannigfache Weise anordnen. Und es erschien mir daher wichtig und lehrreich, dem Grund dieser verschiedenen Moglichkeiten nachzuspiiren. Es muBte sich doch jedes Verkniipfungsgesetz der Streckenrechnung in einem wohlbestimmten SchlieBungssatze sichtbar machen und die logische Ab- hangigkeit dieser SchlieBungssatze voneinander feststellen lassen. Gliicklicherweise haben nun diese SchlieBungssatze auch von anderer Seite her Interesse. W. BLASCHKE hat auf dem Mathematiker-KongreB in Bologna die Vermutung ausgesprochen, daB die Theorie der Kurven- gewebe auch fUr die Grundlagen der Geometrie fruchtbar werden konnte.