Seit DrcKsoNs Algebren und ihre Zahlentheorie erschien (1927), hat die Theorie der Algebren Fortschritte gemacht, die eine neue Ubersicht Bestand der Theorie angebracht erscheinen lassen. Die neue iiber den Entwicldung kann in drei - vielfach verflochtene - Richtungen ge- teilt werden. Von A. A. ALBERT, R. BRAUER und E. NOETHER wurde die Struktur der einfachen Algebren (Matrizesringe iiber Divisions- algebren) erforscht; im Zusammenhang damit steht die Theorie der Faktorensysteme (R. BRAUER, E. NOETHER). Zweitens hat die Arith- metik der Algebren durch die Arbeiten von BRANDT, SPEISER, ARTIN entscheidende Antriebe erhalten. Dnd schlieBlich haben HASSE und NOETHER den Zusammenhang der Arithmetik der Zahlkorper (Klassen- korpertheorie und Reziprozitatsgesetz, Hauptgeschlechtssatz) mit den Algebren erkannt; auch Arbeiten von (HEV ALLEY und von DEURING iiber Normenreste gehoren hier her. Diese Einteilung der Entwicldung liegt der Einteilung dieses Be- richtes zugrunde. Teil I und II enthalten die allgemeine Theorie bis zu den WEDDERBuRNschen Struktursatzen (die in der allgemeinsten bekannten Fassung bewiesen werden). Teil III ist ein kurzer Uber- blick tiber die Darstellungstheorie. Teil IV enthalt die neuere Struktur- theorie der einfachen Algebren; Teil V die daran anschlieBende Theorie der Faktorensysteme; Teil VI die allgemeine Arithmetik der Algebren. 1m letzten Teil wird der tiefere Zusammenhang der Algebren mit der Theorie der algebraischen Zahlen entwickelt. Dem Zweck der Sammlung, von der dieser Bericht ein Teil ist, habe ich dadurch gerecht zu werden geglaubt, daB ich eine zwar knappe, aber vollstandige Darstellung der Theorie in ihren Hauptztigen gegeben mit Hinweisen auf die dazu gehorende Literatur.

Seit DICKSONS Algebren und ihre Zahlentheorie erschien (1927), hat die Theorie der Algebren Fortschritte gemacht, die eine neue Ubersicht uber den Bestand der Theorie angebracht erscheinen lassen. Die neue Entwicklung kann in drei - vielfach verflochtene - Richtungen ge teilt werden. Von A. A. ALBERT, R. BRAUER und E. NOETHER wurde die Struktur der einfachen Algebren (Matrizesringe uber Divisions algebren) erforscht; im Zusammenhang damit steht die Theorie der Faktorensysteme (R. BRAUER, E. NOETHER). Zweitens hat die Arith metik der Algebren durch die Arbeiten von BRANDT, SPEISER, ARTIN entscheidende Antriebe erhalten. Und schliesslich haben HASSE und NOETHER den Zusammenhang der Arithmetik der Zahlkorper (Klassen korpertheorie und Reziprozitatsgesetz, Hauptgeschlechtssatz) mit den Algebren erkannt; auch Arbeiten von CHEV ALLEY und von DEURING uber Normenreste gehoren hier her. Diese Einteilung der Entwicklung liegt der Einteilung dieses Be richtes zugrunde. Teil I und II enthalten die allgemeine Theorie bis zu den WEDDERBuRNschen Struktursatzen (die in der allgemeinsten bekannten Fassung bewiesen werden). Teil III ist ein kurzer Uber blick uber die Darstellungstheorie. Teil IV enthalt die neuere Struktur theorie der einfachen Algebren; Teil V die daran anschliessende Theorie der Faktorensysteme; Teil VI die allgemeine Arithmetik der Algebren. Im letzten Teil wird der tiefere Zusammenhang der Algebren mit der Theorie der algebraischen Zahlen entwickelt. Dem Zweck der Sammlung, von der dieser Bericht ein Teil ist, habe ich dadurch gerecht zu werden geglaubt, dass. ich eine zwar knappe, aber vollstandige Darstellung der Theorie in ihren Hauptzugen gegeben habe, mit Hinweisen auf die dazu gehorende Literatur."