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Christianity arrived early in Egypt, brought-according to tradition-by Saint Mark the Evangelist, who became the first patriarch of Alexandria. The Coptic Orthodox Church has flourished ever since, with millions of adherents both in Egypt and in Coptic communities around the world. Since its split from the Byzantine Church in 451, the Coptic Church has proudly maintained its early traditions, and influence from outside has been minimal: the liturgy is still sung to unique rhythms in Coptic, a late stage of the same ancient Egyptian language that is inscribed in hieroglyphs on temple walls and papyri. Dr. Otto Meinardus, a leading authority on the history of the Coptic Church, here revises, updates, and combines his renowned studies Christian Egypt, Ancient and Modern (AUC Press, 1965, 1977) and Christian Egypt, Faith and Life (AUC Press, 1970) into a new, definitive, one-volume history, surveying the twenty centuries of existence of one of the oldest churches in the world.

for example, the so-called Lp approximation, the Bernstein approxima tion problem (approximation on the real line by certain entire functions), and the highly interesting studies of J. L. WALSH on approximation in the complex plane. I would like to extend sincere thanks to Professor L. COLLATZ for his many encouragements for the writing of this book. Thanks are equally due to Springer-Verlag for their ready agreement to my wishes, and for the excellent and competent composition of the book. In addition, I would like to thank Dr. W. KRABS, Dr. A. -G. MEYER and D. SCHWEDT for their very careful reading of the manuscript. Hamburg, March 1964 GUNTER MEINARDUS Preface to the English Edition This English edition was translated by Dr. LARRY SCHUMAKER, Mathematics Research Center, United States Army, The University of Wisconsin, Madison, from a supplemented version of the German edition. Apart from a number of minor additions and corrections and a few new proofs (e. g., the new proof of JACKSON'S Theorem), it differs in detail from the first edition by the inclusion of a discussion of new work on comparison theorems in the case of so-called regular Haar systems ( 6) and on Segment Approximation ( 11). I want to thank the many readers who provided comments and helpful suggestions. My special thanks are due to the translator, to Springer-Verlag for their ready compliance with all my wishes, to Mr."

The international symposium held in October 1984 at the Uni versity of Mannheim was the first with the special aim to expose the connection of the Theory of Delay Eauations and Approximation Theory with the emphasis on constructive methods and applications. Although the separate character of both domains is reflected by their historical development, the latest research shows that the numerical treatment of Delay Equations leads to various appro ximation and optimization problems. An introductory survey of this circle of problems written by the editors is included at the beginning of the book. Delay Equations have their origin in domains of applications, such as physics, engineering, biology, medicine and economics. They appear in connection with the fundamental problem to analyse a retarded process from the real world, to develop a corresponding mathematical model and to determine the future behavior. Thirty mathematicians attended the conference coming from Germany, West- and Eastern Europe and the United States- more than twenty of them presented a research talk. The lectures about Delay Equations were mainly oriented on the following subjects: single-step, multi-step and spline methods; monotonicity methods for error estimations; asymptotic behavior 10 and periodicity of solutions. The topics of the talks on Approxi mation Theory covered different aspects of approximation by poly nomials, splines and rational functions and their numerical rea lization. Additionally included in the scientific program was a special session on Open Problems, where several suggestions were made for further research concerning both fields."

Der Band enthalt Manuskripte zu Vortragen, die auf einer von den Herausgebern geleiteten Tagung tiber "Numerische Methoden der Approximationstheorie" am Mathematischen Forschungsinstitut Ober- wolfach in der Zeit vom 18. -24. Januar 1981 gehalten wurden. Das Spektrum der Vortrage reichte von der klassischen Approximations- theorie tiber mehrdimensionale Approximationsverfahren bis hin zu praxisbezogenen Fragestellungen. Zu den zuerst genannten Gebieten gehorten z. B. die Verfeinerung von Fehlerabschatzungen bei der Polynominterpolation, Fragen zur Eindeutigkeit, Charakterisierung optimaler Interpolationsprozesse und Algorithmen zur rationalen Interpolation. Bei den weiteren genannten Gebieten spiegel ten zahlreiche Vortrage das steigende Interesse an der mehrdimensio- nalen Interpolation, insbesondere mit verschiedenen Arten von Splines wider. Hier standen u. a. Probleme der Parameterschatzung in der Medizin und Flugtechnik, Fragen der Approximationstheorie bei der Konstruktion von Plottern und stabile Algorithmen beim Arbeiten mit mehrdimensionalen B-Splines im Mittelpunkt des Interesses. Die Tagung lieferte einen reprasentativen Ueberblick tiber die aktuellen Trends in der Approximationstheorie. Zum guten Erfolg der Tagung trug wie immer die hervorragende Be- treuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Instituts so-' wie das verstandnisvolle Entgegenkommen des Institutsdirektors, Herrn Professor Dr. Barner, bei. Un serer besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag ftir die wie stets sehr gute Ausstattung. Helmut Werner Lothar Collatz Gtinther Meinardus Hamburg Mannheim Bonn 7 INDEX Blatt, H. -P. Strenge Eindeutigkeitskonstanten und Fehlerabschatzungen bei linearer Tschebyscheff-Approximation 9 Bohmer, K. Polynom- und Spline-Interpolation (Ein Farbfilm) 26 Brannigan, M. A Multivariate Adaptive Data Fitting Algorithm 30 Brass, H. Zur numerischen Berechnung konjugierter Funktionen 43 Bultheel, A.

Der vorliegende Band stellt Vortragsmanuskripte einer am Mathematischen Forschungsinstitut, Oberwolfach, in der Zeit vom 25. bis 31. Mai 1975 veran stalteten Tagung zusammen, die unter der Leitung der Unterzeichner stand. Die letzten dieser Tagungen uber numerische Methoden der Approximations theorie fanden 1971 und 1973 statt - der Schwerpunkt lag bei Fragen der Numerik von Algorithmen zur Darstellung von Funktionen -, liessen aber bereits ein wachsendes Interesse an Anwendungen erkennen. Die diesjahrige Tagung war gekennzeichnet durch die Behandlung praktischer AufgabensteI lungen sowie durch die Einbeziehung der Anwendungen aus Nachbargebie ten bzw. die Verwendung der Methoden dieser Gebiete in der Approxima tionstheorie, insbesondere wurde auch auf die Beziehungen von Optimierung und Kontrolltheorie zu speziellen approximationstheoretischen Aufgaben eingegangen. Der starke Einfluss auf die numerischen Methoden zur Behand lung von Differentialgleichungen wurde etwa bei der Methode der finiten Elemente oder bei Kollokationsaufgaben deutlich. So ist zu hoffen, dass auch diese Tagung dazu beigetragen hat, Theorie und Anwendungen wieder starker zu verbinden. Die spezifische Atmosphare des Forschungsinstituts stimulierte einen intensi ven, durch die breite internationale Streuung der Tagungsteilnehmer verstark ten, fruchtbaren Gedankenaustausch. Zum Erfolg der Tagung trug - wie immer - die hervorragende Betreuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Forschungsinstituts und das verstandnisvolle Entgegenkommen von Herrn Kollege Barner bei. Unser besonderer Dank gilt ferner dem Birkhauser Verlag fur die sehr gute Ausstattung des Buches. L. COLLATZ, G. MEINARDUS, H. WERNER Inhaltsverzeichnis ANSELONE, P. M., LEE, J. W.: Double Approximation Methods for the Solution of Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ."

Ais Bindeglied zwischen den zwei grossen sich gegenseitig befruchtenden Ge bieten der -Reinen- und der -Angewandten- Mathematik hat sich die Funk tionalanalysis einen festen Platz erobert und ist heute auch aus der -Numeri schen Mathematik- nicht mehr fortzudenken. Das zeigte sich auch bei den fol genden Arbeitstagungen am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald): 17. bis 23. November 1968 Tagung fiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. WERNER) 8. bis 14. Juni 1969 Tagung fiber Numerische Methoden der Approximationstheorie (Tagungsleiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS) 16. bis 22. November 1969 Tagung fiber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. UNGER) Die hier wiedergegebenen Vortrage gaben einen Oberblick fiber einige der vielen in neuerer Zeit entstandenen Teildisziplinen der Numerischen Mathematik. Die Tagungsleiter und die Tagungsteilnehmer danken dem Leiter des Mathe matischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. BARNER, und allen seinen Mitarbeitern in Freiburg und in Oberwolfach dafilr. dass die Ta gungen im gewohnten harmonischen Rahmen in der vertrauten Atmosphare des Oberwolfacher Hauses stattfinden konnten. Ferner sei dem Birkhauser Verlag besonders gedankt filr die gute Ausstattung dieses Buches und die stete Forde rung. Tagung tiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik vom 17. bis 23. November 1968 Leiter: L. COLLATZ lind H. WERNER V ortragsauszuge BROSOWSKJ, B., K. -H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Stetigkei- siitze fUr metrische Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . II BROSOWSKI, B., K. -H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Metrische Projektionen auf Iineare TeiIriiume von CO [Q, H] . . . . . . . ."

Der vorliegende Band gibt hauptsachlich Vortrage wieder, die in der Zeit vom 23. bis 27. Februar 1976 auf einem am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach abgehaltenen Kolloquium uber "Optimierung bei graphentheo- retischen und ganzzahligen Problemen" gehalten wurden. Die Tagung war einem aktuellen und in neuerer Zeit in der Literatur viel behandelten Teilge- biet der Optimierung gewidmet. Die graphen theoretischen und ganzzahligen Optimierungsprobleme sind, wie auch aus den 19 Vortragen hervorging, fur viele Anwendungen in Wirtschaft und Technik von Bedeutung, geben aber auch Anlass zu interessanten theoretischen Untersuchungen. Auch uber Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Methoden konnte berichtet werden, vor allem im Zusammenhang mit der Komplexitat von Algorithmen. So hoffen die Unterzeichner, dass die Tagung dazu beigetragen hat, den Kontakt zwischen mathematischer Theorie und Anwendungsgebieten wieder etwas starker zu beleben. Die 42 Teilnehmer aus dem In-und Ausland, darunter eine groessere Gruppe aus den Niederlanden und einige eigens zu dieser Tagung aus Amerika angereiste Kollegen, haben in Vortragen und Diskussionen viele wertvolle Informationen austauschen koennen. Der Institutsleitung gebuhrt fur diese Gelegenheit der wissenschaftlichen Begegnung der Dank aller Teilnehmer. W. WETTERLING L. COLLATZ G. MEINARDUS (Siegen) (Enschede) (Hamburg) Inhaltsverzeichnis R.E. BURKARD - H. HAMACHER - U. ZIMMERMANN: Flussprobleme mit allgemeinen Kosten ........................... 9 L. COLLATZ: Graphen bei Ornamenten und Verzweigungsdiagrammen . . . . . . . . . . 23 . . B. DEJON: Bestimmung von r kurzesten Wegen in Netzwerken unter Nebenbed- gungen: Verfahren vom Hoffman-Pavley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 . . . . . R. HALIN: Systeme disjunkter unendlicher Wege in Graphen .................. 55 P.L. HAMMER: Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 . . . . .

Dieser Band bringt Manuskripte zu Vortragen einer Tagung, die in Oberwolfach vom 3. 6. bis 9. 6. 1973 unter Leitung der Unterzeichner veranstaltet wurde. Die letzte Tagung uber numerische Probleme der Approximationstheorie in Oberwolfach fand 1971 statt. Daher hatte die jetzige Veranstaltung das Ziel, den in der Zwischenzeit erreichten Fortschritt auf diesem Gebiet durch ausgewahlte V ortrage erkennen zu lassen. Die grosse Zahl der Vortrage sowie die Fulle der behandelten Themen zeigte die wachsende Bedeutung, die diesem Gebiet auch in der Zukunft fur die Anwendungen zukommt und macht deutlich, dass Tagungen dieser Art kunftig in kurzeren Zeitabstanden stattfinden sollten. Hervorzuheben ist, dass neben approximationstheoretischen Vortragen und solchen aus der Optimierung auch neue Fragestellungen aus der Praxis (vgl. etwa die Vortrage der Herren Kubik und Gutknecht) vorgetragen wurden, die z. T. noch einer exakten mathematischen Form bedurfen. Hieraus koennen sich fruchtbare Impulse sowohl fur theoretische Untersuchungen als auch fur die eng mit der Praxis verbundene wissenschaftliche Tatigkeit ergeben. Die 49 Teilnehmer, darunter aus Rumanien, Grossbritannien, den USA, der Schweiz, den Niederlanden, Frankreich, Bulgarien, Kanada, Ungarn und Bel- gien, konnten durch den regen Gedankenaustausch viele Anregungen fur ihre wissenschaftliche Arbeit gewinnen. Unser besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag fur die gute Ausstattung dieses Bandes und dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Ober- wolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern, Frau Dipl.-Math.

Das Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach veranstaltet seit langerer Zeit in etwa zweijahrigem Turnus Tagungen uber numerische Methoden der Approximationstheorie. Die Vortragsauszuge der diesjahrigen Tagung, die vom 13. bis 19. Juni stattfand, sind in dem vorliegenden Band zusammengefasst. Die Themen lassen erkennen, dass es ein besonderes Anliegen der Tagungsleiter war, die Kluft zwischen abstrakter Mathematik und den Anwendungen verringern zu helfen. Approximationstheoretische Fragestellungen scheinen geeignet zu sein, hier neue Bru ken zu schlagen. Der starke Zustrom auslandischer Mathe- matiker, insbesondere aus UEbersee, zeigt, dass diese Bestrebungen auch in an- deren Landern Resonanz finden. In zunehmendem Masse sind solche aus den (ausser-und innermathematischen) Anwendungen herruhrenden Fragestellungen zu behandeln, die sich nicht in klassische Approximationstheorie einordnen lassen. So wurde z. B. von Ver- tretern der Nachrichtentechnik uber in ihrem Bereich auftretende ungewoehnliche Approximationsprobleme berichtet. Andere Vortrage beschaftigten sich mit Approximationsfragen, die aus gewissen Aufgaben der angewandten Mathematik erwachsen (z. B. Behandlung von Differential-und Integralgleichungen). Zwei weitere Schwerpunkte bildeten die Beziehungen zur Optimierungstheorie, die insbesondere zu effektiven numerischen Verfahren fuhren, sowie Untersuchun- gen uber Spline-Approximationen. Professor Steckin aus Moskau war leider an der Teilnahme verhindert und hat statt dessen das hier abgedruckte Manuskript ubersandt.

Die Funktionalanalysis hat in neuerer Zeit immer starkere Bedeutung fUr die Numerische Mathematik erlangt, so daB sie heute schon als eine der grund- legenden Disziplinen ftir die Numerische Mathematik angesehen werden kann. Es zeigte sich dabei, daB verschiedene Teile der Funktionalanalysis dabei wei- ter ausgebaut und auf eine fUr die Anwendungen bequeme Form gebracht wer- den muBten. Es war auch notig, neue Entwicklungen durchzuftihren. So hat die Numerische Mathematik auch zur Befruchtung der Funktionalanalysis und zur EinfUhrung weiterer funktionalanalytischer Begriffe geftihrt. Als ein Beispiel daftir seien die pseudometrischen Raume genannt. Der Pflege dieser Zusammenhange waren mehrere Arbeitstagungen ge- widmet, fUr we1che das mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach in dankenswerter Weise den Rahmen bereitstellte. Die Teilnehmer werden die herzliche, personliche Atmosphare und die anregenden Diskussionen sicher in angenehmer Erinnerung behalten. Auf einer ersten, bereits sehr gut besuchten Tagung im Juni 1964 wurde beschlossen, dieses Gebiet weiter zu behandeln, und so fanden zwei weitere Tagungen statt: 22. bis 25. Juni 1965 tiber: Numerische Probleme in der Approximationstheorie unter Leitung der Herren Collatz und Meinardus 15. bis 20. November 1965 tiber: Funktionalanalytische Methoden in der Numerischen Mathematik unter Leitung der Herren Collatz und Unger.

Erst in den letzten Jahren hat sich derjenige Tell der Approximations- theorie, der sich auf numerische Fragestellungen anwenden liiBt, starker entwickelt. Das Prinzip der in einem gewissen Sinne besten Anniiherung von Funktionen gewann insbesondere durch die Verwendung elektro- nischer Rechenmaschinen an Bedeutung. Einige der theoretischen Grundlagen, die zur Behandlung der auftretenden Probleme herange- zogen werden mussen, finden sich verstreut in wenigen Buchern. Der weitaus gr6Bte Teil der theoretischen und praktischen Untersuchungen ist jedoch nur in den Originalarbeiten nachzulesen. Hieraus ergab sich die Zielsetzung des vorliegenden Buches: Es sollte eine Zusammen- stellung der wesentlichen Ergebnisse der Approximationstheorie gegeben werden, die einerseits ein rasches Eindringen in die modernen Entwick- lungen dieses Gebietes ermoglicht und andererseits eine gewisse Voll- stiindigkeit auf dem Problemkreis der Tschebyscheff-Approximationen bietet, womit keineswegs gemeint ist, daB eine vollstiindige Literatur- ubersicht angestrebt wurde. Die Auswahl erfolgte stets nach dem immer noch subjektiven Gesichtspunkt der Bedeutung fiir die Anwendungen. Dies gilt z. B. auch fur die asymptotischen Untersuchungen des 3, denn ich bin der Meinung, daB man sich auch beinumerischen Approximationen uber die, wenigstens asymptotisch zu erwartende Genauigkeit Gedanken machen sollte. Fast ausschlieBlich habe ich mich auf die Theorie der gleich- miiBigen Approximation beschriinkt, da diese die weitaus groBte prak- tische Bedeutung besitzt. Das erste Kapitel behandelt lineare Approximationen. Der 3 ent- hiilt wohl den heute kiirzesten Zugang zur linearen Theorie.

Numerische Behandlung von Differentialgleichungen ist seit vielen Jahren mit einiger RegelmaBigkeit Thema einer Tagung am Mathematischen For- schungsinstitut in Oberwolfach gewesen. Wie bei den frilheren Tagungen wurde auch diesmal ilber in neuerer Zeit erzielte Fortschritte bei sehr ver- schiedenartigen numerischen Methoden berichtet. Neben dem allgemeinen Uberblick fand bei dieser Tagung das Gebiet der freien Randwertaufgaben besondere Berilcksichtigung. Solche Probleme bei partiellen Differentialglei- chungen galten noch vor etwa 5 Jahren als ein auBerordentlich schwieriges, numerisch kaum angreifbares Gebiet, auf dem erst jetzt ein entscheidender Fortschritt erzielt worden ist; es gelang, derartige Aufgaben mit Hilfe der Methode der Variationsungleichungen theoretisch und auch numerisch brauchbar zu erfassen. Zugleich zeigte sich, daB solche Aufgaben in sehr vielen verschiedenen Anwendungsgebieten auftreten. Es sei nur an freie Oberflachen von Flilssigkeiten und Gasen, Grenzflachen zwischen elastischem und plastischem Verhalten, Grenzflachen von Sickerstromungen, Grenzfla- chen zwischen Medien verschiedener Konzentration bei chemischen Vorgan- gen usw. erinnert. Einige dieser Erscheinungen wurden auch auf dieser Tagung behandelt. Unser besonderer Dank gilt dem Direktor des Forschungsinstitutes, Herrn Prof. Dr. Barner, und der ausgezeichneten Betreuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Institutes. Wir danken ferner dem Birkhauser Verlag fUr die sehr gute Ausstattung des Buches. J. Albrecht L. Collatz G. Hammerlin Claus thai Hamburg Milnchen Inhaltsverzeichnis A. Acker: Some free boundary optimization problems and their solutions. . . 9 J. Baumeister: Ein Iterationsverfahren zur LOsung eines parabolischen freien Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K. Bohmer: Defekt-Korrektur-Methoden fUr das zentrale Euler-Verfahren bei Randwertproblemen gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . 42 C. M. Elliott: Moving boundary problems and linear complementarity . . . . . . . 62 . H.

Dieser Band bringt Manuskripte zu Vortragen einer Tagung, die in Oberwolfach vom 3. 6. bis 9. 6. 1973 unter Leitung der Unterzeichner veranstaltet wurde. Die letzte Tagung uber numerische Probleme der Approximationstheorie in Oberwolfach fand 1971 statt. Daher hatte die jetzige Veranstaltung das Ziel, den in der Zwischenzeit erreichten Fortschritt auf diesem Gebiet durch ausgewahlte V ortrage erkennen zu lassen. Die grosse Zahl der Vortrage sowie die Fulle der behandelten Themen zeigte die wachsende Bedeutung, die diesem Gebiet auch in der Zukunft fur die Anwendungen zukommt und macht deutlich, dass Tagungen dieser Art kunftig in kurzeren Zeitabstanden stattfinden sollten. Hervorzuheben ist, dass neben approximationstheoretischen Vortragen und solchen aus der Optimierung auch neue Fragestellungen aus der Praxis (vgl. etwa die Vortrage der Herren Kubik und Gutknecht) vorgetragen wurden, die z. T. noch einer exakten mathematischen Form bedurfen. Hieraus konnen sich fruchtbare Impulse sowohl fur theoretische Untersuchungen als auch fur die eng mit der Praxis verbundene wissenschaftliche Tatigkeit ergeben. Die 49 Teilnehmer, darunter aus Rumanien, Grossbritannien, den USA, der Schweiz, den Niederlanden, Frankreich, Bulgarien, Kanada, Ungarn und Bel gien, konnten durch den regen Gedankenaustausch viele Anregungen fur ihre wissenschaftliche Arbeit gewinnen. Unser besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag fur die gute Ausstattung dieses Bandes und dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Ober wolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern, Frau Dipl.-Math."

Title: Die Succession des Hauses Hannover in England und Leibniz. Ein Beitrag zur Kritik des Dr. O. Klopp.Publisher: British Library, Historical Print EditionsThe British Library is the national library of the United Kingdom. It is one of the world's largest research libraries holding over 150 million items in all known languages and formats: books, journals, newspapers, sound recordings, patents, maps, stamps, prints and much more. Its collections include around 14 million books, along with substantial additional collections of manuscripts and historical items dating back as far as 300 BC.The HISTORY OF SOCIAL SCIENCES collection includes books from the British Library digitised by Microsoft. This collection provides histories and analyses of society, culture, education, crime, and family life. Providing a unique perspective of everyday life in the 18th and 19th centuries, readers of these works can study earlier developments that formed our modern society.++++The below data was compiled from various identification fields in the bibliographic record of this title. This data is provided as an additional tool in helping to insure edition identification: ++++ British Library Meinardus, Otto; Klopp, Onno.Leibniz Gottfried Wilhelm Freiherr von 1878 104 p.; 8 . 9525.cc.2.