A volume containing original essays from quite diverse fields in mathematics is something of a rarity, especially if renowned scientists show the width of their discipline to the reader. This book is just such a rarity - a veritable gem. It was written to celebrate the 50th anniversary of the mathematical research institute at Oberwolfach. The articles span a range of topics from general reflections on the place of mathematics in contemporary culture to essays dealing with aspects of algebra, analysis, geometry, coding theory, scientific computing and topology. All essays are interrelated, proving the old rule that you can divide and still conquer. A book in which every mathematician or scientist interested in mathematics will find something to take their fancy.

This book is an introduction to the geometry of complex algebraic varieties. It is intended for students who have learned algebra, analysis, and topology, as taught in standard undergraduate courses. So it is a suitable text for a beginning graduate course or an advanced undergraduate course. The book begins with a study of plane algebraic curves, then introduces affine and projective varieties, going on to dimension and construcibility. $\mathcal{O}$-modules (quasicoherent sheaves) are defined without reference to sheaf theory, and their cohomology is defined axiomatically. The Riemann-Roch Theorem for curves is proved using projection to the projective line. Some of the points that aren't always treated in beginning courses are Hensel's Lemma, Chevalley's Finiteness Theorem, and the Birkhoff-Grothendieck Theorem. The book contains extensive discussions of finite group actions, lines in $\mathbb{P}^3$, and double planes, and it ends with applications of the Riemann-Roch Theorem.

Important though the general concepts and propositions may be with which the modem and industrious passion for axiomatizing and generalizing has presented us, in algebra perhaps more than anywhere else, nevertheless I am convinced that the special problems in all their complexity constitute the stock and core of mathematics, and that to master their difficulties requires on the whole the harder labor. HERMANN WEYL Die Arbeit an diesem Buch begann vor etwa zwanzig Jahren mit Aufzeichnungen zur Erganzung meiner Algebravorlesungen. Ich wollte einige konkrete Themen, wie Symmetrie, lineare Gruppen und quadratische Zahlkoerper, ausfuhrlicher be- handeln als dies im vorgesehenen Text der Fall war, und daruberhinaus wollte ich den Schwerpunkt in der Gruppentheorie von den Permutationsgruppen auf Matrixgruppen verlagern. Ein anderes standig wiederkehrendes Thema, namlich Gitter, sind spontan aufgetaucht. Ich hoffte, der konkrete Stoff koenne das Interesse der Studenten wecken und gleichzeitig die Abstraktionen verstandlicher machen, kurz gesagt, sie sollten weiter kommen, indem sie beides gleichzeitig lernten. Das bewahrte sich gut. Es dauerte einige Zeit, bis ich entschieden hatte, welche Themen ich behandeln wollte, und allmahlich verteilte ich mehr und mehr Aufzeichnungen und ging schliesslich dazu uber, die ganze Vorlesung mit diesem Skript zu bestrei- ten. Auf diese Weise ist ein Buch entstanden, das, wie ich meine, etwas anders ist als die existierenden Bucher. Allerdings haben mir die Probleme, die ich damit hatte, die einzelnen Teile des Buches zu einem Ganzen zusammenzufugen, einige Kopfschmerzen bereitet; ich kann also nicht empfehlen, auf diese Art anzufangen, ein Buch zu schreiben.