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Drawing primarily from historical examples, this book explains the
tremendous role that numbers and, in particular, mathematics play
in all aspects of our civilization and culture. The lively style
and illustrative examples will engage the reader who wants to
understand the many ways in which mathematics enables science,
technology, art, music, politics, and rational foundations of human
thought. Each chapter focuses on the influence of mathematics in a
specific field and on a specific historical figure, such as
"Pythagoras: Numbers and Symbol"; "Bach: Numbers and Music";
"Descartes: Numbers and Space."
In this small text the basic theory of the continuum, including the
elements of metric space theory and continuity is developed within
the system of intuitionistic mathematics in the sense of L.E.J.
Brouwer and H. Weyl. The main features are proofs of the famous
theorems of Brouwer concerning the continuity of all functions that
are defined on "whole" intervals, the uniform continuity of all
functions that are defined on compact intervals, and the uniform
convergence of all pointwise converging sequences of functions
defined on compact intervals. The constructive approach is
interesting both in itself and as a contrast to, for example, the
formal axiomatic one.
In the English edition, the chapter on the Geometry of Numbers has
been enlarged to include the important findings of H. Lenstraj
furthermore, tried and tested examples and exercises have been
included. The translator, Prof. Charles Thomas, has solved the
difficult problem of the German text into English in an admirable
way. He deserves transferring our 'Unreserved praise and special
thailks. Finally, we would like to express our gratitude to
Springer-Verlag, for their commitment to the publication of this
English edition, and for the special care taken in its production.
Vienna, March 1991 E. Hlawka J. SchoiBengeier R. Taschner Preface
to the German Edition We have set ourselves two aims with the
present book on number theory. On the one hand for a reader who has
studied elementary number theory, and who has knowledge of analytic
geometry, differential and integral calculus, together with the
elements of complex variable theory, we wish to introduce basic
results from the areas of the geometry of numbers, diophantine ap
proximation, prime number theory, and the asymptotic calculation of
number theoretic functions. However on the other hand for the
student who has al ready studied analytic number theory, we also
present results and principles of proof, which until now have
barely if at all appeared in text books.
In einem informativen und anregenden Streifzug von Pythagoras uber
Bach zu Bohr zeigt der Autor den Einfluss der Zahlen in der Welt
des Wissens und unserer Kultur. In einer lebendigen und persoenlich
gefarbten Sprache, unterstutzt durch eine Fulle bestechend schoener
Abbildungen, wird der weit gespannte Themenbereich einem breiten
Leserkreis verstandlich dargestellt. Dass nach einem Jahr nach
Erscheinen bereits die dritte Auflage erfolgte, belegt die These,
dass viele Menschen Mathematik vor allem als wesentlichen
Bestandteil unserer Kultur empfinden und daruber mehr erfahren
wollen. In der dritten Auflage wurden einige Fussnoten im
Anmerkungsteil erganzt.
Philosophen und Theologen haben uber das Unendliche nachgedacht.
Doch die wahre Wissenschaft vom Unendlichen ist die Mathematik.
Rudolf Taschner gelingt es, diesen zentralen Begriff auch dem
mathematischen Laien zu vermitteln. Auf anschauliche Weise
beschreibt er, wie bereits Pythagoras, Archimedes und Euklid
versucht haben, das Unendliche zu fassen. Er macht uns mit Newton
und Leibniz bekannt, die entdeckten, dass das Phanomen von Bewegung
und Wandel nur durch die Erforschung des Unendlichen verstandlich
wird. Mit Spannung kann der Leser den dramatischen Streit zwischen
den unterschiedlichen Positionen von Cantor, Hilbert und Brouwer
verfolgen - ein Streit, der nach den Erkenntnissen Goedels
unentschiedener ist denn je.
Konstruktive Analysis wird in diesem Buch mit anschaulichen
Graphiken und bestechenden Beispielen so vorgestellt, dass sie
bereits mit elementaren Schulkenntnissen als Voraussetzung
verstanden wird. Sie stellt eine hoechst attraktive Alternative zur
konventionellen, auf den willkurlich gesetzten Axiomen der
Mengentheorie fussenden formalen Mathematik dar. Und sie fuhrt zu
spektakularen Einsichten uber Stetigkeit und gleichmassige
Stetigkeit, uber gleichmassige Konvergenz und uber die Vertauschung
von Limes und Integral, die der konventionellen Mathematik ganzlich
verwehrt sind.
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