This book introduces readers to theories that play a crucial role in modern mathematics, such as integration and functional analysis, employing a unifying approach that views these two subjects as being deeply intertwined. This feature is particularly evident in the broad range of problems examined, the solutions of which are often supported by generous hints. If the material is split into two courses, it can be supplemented by additional topics from the third part of the book, such as functions of bounded variation, absolutely continuous functions, and signed measures. This textbook addresses the needs of graduate students in mathematics, who will find the basic material they will need in their future careers, as well as those of researchers, who will appreciate the self-contained exposition which requires no other preliminaries than basic calculus and linear algebra.

Il testo intende fornire un introduzione alla teoria della misura e all analisi funzionale. E in particolare pensato per i corsi universitari triennali e della laurea Specialistica in Matematica e Ingegneria. L'impostazione della teoria della misura e di tipo astratto, intesa ad arrivare rapidamente al classico teorema di estensione delle funzioni d'insieme sigma-additive, strumento di uso frequentissimo in probabilita. Essa presuppone una qualche conoscenza dell'integrale di Lebesgue in spazi euclidei, anche se la costruzione di quest'ultimo viene richiamata nel testo insieme alle sue proprieta fondamentali. Gli argomenti tipici della teoria dell'integrazione sono sviluppati in modo piuttosto approfondito, cercando laddove possibile di dedurre anche risultati classici dalla moderna impostazione della teoria. Ad esempio, il teorema di approssimazione di Weierstrass per funzioni continue e ottenuto applicando le proprieta del prodotto di convoluzione. La parte di analisi funzionale e davvero introduttiva: si studiano proprieta di base degli spazi di Hilbert e di Banach, con una certa enfasi sugli aspetti geometrici degli spazi infinito-dimensionali. A questo scopo abbiamo curato abbastanza a fondo la parte riguardante gli spazi l "piccolo" p che spiegano rapidamente i fenomeni nuovi che si presentano in dimensione infinita. Il testo presenta inoltre una coda di argomenti avanzati che comprende la teoria della funzioni BV e AC con applicazioni agli integrali semplici del calcolo delle variazioni (esistenza alla Tonelli, equazioni di Eulero, etc.). Il testo inoltre propone una ricca varieta di esempi ed esercizi, per i quali si forniscono spesso suggerimenti generosi.