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Die mathematischen Formeln . . . Sie spielen nur mit sich selbst,
driicken nichts als ihre wunderbare Natur aus, und eben darum sind
sie so ausdrucksvoll - eben daruf!1, spiegelt sich in ihnen das
seltsame Verhli. ltnisspielder Dinge. Die Grundbegriffe der
Linearen Algebra, wie man sie zur Vorbereitung einer Vor- lesung
tiber Algebra braucht, lassen sich auf einem Dutzend Seiten
vollstandig darstellen. SoIche Kiirze wird vielleicht gerade
Algebraikern yom Fach besonders einleuchten. Aber auf der anderen
Seite stehen Bedtirfnisse und Interessen aus der Analysis,
Geometrie und Physik, die weit tiber das hinausgehen, was man in
einem zweisemestrigen Kurs bewaltigen kann. Die Theorie der
Liealgebren, das Studium der orthogonalen Gruppen, die Grundlagen
der speziellen Relativitats- theorie, die Ubertragung der Analysis
auf Mannigfaltigkeiten und die Grundlagen der Projektiven
Geometrie, - all das ist eigentlich nur Lineare Algebra. Nun ist
das Buch, das ich hier vorlege, auch nicht enzyklopadisch, aber ich
mochte doch Wege zeigen, die aus dem einfachen Rechenschematismus,
mit dem die Lineare Algebra beginnt, in reiche, vielfiiltige,
sinnvolle und anschauliche Ge- biete fiihren. Meine Darste11ung
beginnt mit sehr geringer Abstraktion. Das nullte Kapitel verlangt
nur, was man auf der Schule machen kann, aber es stellt schon die
Studenten der Physik (und die Kollegen) flir einige Zeit zufrieden.
Auch da- nach geht es mit der Abstraktion behutsam voran, und ich
scheue mich nicht, vieles mehrfach zu behandeln, rechnerisch,
algebraisch und geometrisch. Ich glaube nicht, dass man auf diese
Weise Zeit verliert.
Das Ziel dieses Buches ist, die eigentlich elementargeometrischen
Methoden der Differentialtopologie darzustellen. Es richtet sich an
Studenten mit Grundkenntnissen in Analysis und allgemeiner
Topologie. Wir beweisen Einbettungs-, Isotopie-und
Transversalitatssatze und behandeln als wichtige Techniken den Satz
von Sard, Partitionen der Eins, dynamische Systeme und (nach Serge
Langs Vorbild) Sprays, die zusammenhangende Summe, Tubenumgebungen,
Kra- gen und das Zusammenkleben von berandeten Mannigfaltigkeiten
langs des Randes. Wir haben, wie wohl heute jeder jungere Topologe,
aus Milnors Schriften [4, 5, 6J selbst viel gelernt, wovon sich
mancherlei Spuren im Text finden, und auch Serge Langs vorzugliche
Darstellung [3J haben wir gelegentlich benutzt - was angstlich zu
vermeiden einem Buch uber Differentialtopologie ja auch nicht gut
tun koennte. Die jedem Kapitel reichlich beigefugten
UEbungsaufgaben sind fur einen Anfanger nicht immer leicht; im Text
werden sie nicht be- nutzt. Nicht behandelt sind in diesem Buch die
Analysis auf Mannig- faltigkeiten (Satz von Stokes), die
Morse-Theorie, die algebraische Topologie der Mannigfaltigkeiten
und die Bordismentheorie. Wir hoffen aber, dass sich unser Buch als
eine solide Grundlage fur die nahere Bekanntschaft mit diesen
weiterfuhrenden Gebieten der Differentialtopologie erweisen wird.
In diesem korrigierten Nachdruck sind zahlreiche kleine Versehen,
die uns bekanntgeworden sind, berichtigt und einige Aufgaben hin-
zugekommen. Fur Hinweise danken wir Kollegen und vielen interes-
sierten Lesern. Theodor Broeckt'r Regensburg, im August 1990 Klaus
Janich Inhaltsverzeichnis 1. Mannigfaltigkeiten und
differenzierbare Strukturen. Ii 13 2. Der Tangentialraum 3.
Vektorraumbundel . 22 * 4. Lineare Algebra fur Vektorraumbundel 34
Lokale und tangentiale Eigenschaften. 45 5.
These notes were taken from lectures given by tom Dieck in the win-
ter-term 1969/70 at the Mathematical Institute in Heidelberg. The
aim of the lectures was to introduce the students to cobordism
theory and to propagate ideas of Boardman and Quillen about the
calculation of cobordism theories with the aid of formal groups.
These notes give an enlarged version of the leetures with many
details and proofs filled in. A chapter on unitary cobordism has
been left out and will appear separately. The eontents of the notes
are as follows: In chapter I we recall those parts of differential
topology and of the theory of veetor bundles which we will use.
This only to re- wind the reader of well known faets or to give
hints at neeessary pre- requisites to students willing to learn
differential topology. Apart from these faets we assume knowledge
of elementary homotopy theory and classical cohomology with
coefficients in l2, characterized by the Eilenberg-Steenrod axioms.
In chapter II the (non oriented) bordism homology theory N.(-) is
defined by singular manifolds. We verify the axioms of a homology
theory. Our approach differs from that of Conner and Floyd [4] in
that we only define absolute homology groups and use a system of
axioms in which an exact sequence of Mayer-Vietoris type plays the
main role.
These notes give a fairly elementary introduction to the local
theory of differentiable mappings. Sard's Theorem and the
Preparation Theorem of Malgrange and Mather are the basic tools and
these are proved first. There follows a number of illustrations
including: the local part of Whitney's Theorem on mappings of the
plane into the plane, quadratic differentials, the Instability
Theorem of Thom, one of Mather's theorems on finite determinacy and
a glimpse of the theory of Toujeron. The later part of the book
develops Mather's theory of unfoldings of singularities. Its
application to Catastrophe theory is explained and the Elementary
Catastrophes are illustrated by many pictures. The book is suitable
as a text for courses to graduates and advanced undergraduates but
may also be of interest to mathematical biologists and economists.
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