"Es gibt kaum ein Gebiet der Naturwissenschaften und der Technik, das sich ohne die mathematische Behandlung der Probleme weiterentwickeln lieJ3e. Selbst fiir technische Yerfahren, deren wesentliches Kennzeichen heute noch die praktische Erfahrung ist, wird die: '.Iathematik in zunehmendem Mal3e zum unentbehrlichen Hilfsmittel. Auch in auJ3er- technischen Bereichen wie in der Wirtschaft ist die Mathematik zur Lasung vieler Fragen unentbehrlich geworden. - L'm dieser Entwicklung Rechnung zu tragen, hat sich der Akademische Verein Hiitte entschlossen, einen Sonderband "Mathematische Formeln und Tafeln" herauszugeben" (Zitat aus dem Vorwort der 1.Auflage). Es gab noch andere Griinde, aus dem Abschnitt "Mathematik" der HUTTE I einen besonderen Band zu machen. Einer dieser Griinde war, dal3 die in der 28. Auflage von HUTTE I vereinigten Gebiete heute nicht mehr in einem Band unterzubringen sind. An der in HUTTE I verwirklichten Idee, dem Ingenieur die fiir sein Gebiet relevanten "Theo- retischen Grundlagen" nahezubringen, halt der Herausgeber auch weiterhin fest. In neuer Form verwirklicht - zumindest in den Anfangen - findet der Leser diese Idee in der nun- mehr vorliegenden 2. Auflage der "Mathematik" sowie in der zweibandigen "Physik- hiitte" 1), die 1971 noch im Verlag Wilhelm Ernst & Sohn erschienen ist.

234 Originalvariable x nur ganzzahlige Werte annimmt, dann ist das Integral durch eine unendliche Summe zu ersetzen. Einige der im folgenden behandelten Transformationen gehOren zu diesen beiden Typen. Da wir nUr lineare Transformationen betrachten, wird spiiter die Eigenschaft der Linearitat nicht mehr eigens erwahnt. 2. Der Hilbertsche Raum L2 Bei einer Integraitransformation HiBt man i. aUg. als Original- funktionen aUe I (x) zu, fur die das Integral existiert. Manche Eigen- schaften der Transformation lassen sich aber nUr dann exakt formu- lieren und beweisen, wenn man die I (x) auf engere Raume beschrankt, die durch innere, von der Transformation unabhangige Eigenschaften charakterisiert sind. In dieser Beziehung ist der Raum der quadratisch l integrablen Funktionen am wichtigsten . Dieser laBt sich auffassen als Analogon zu dem Euklidischen Raum Rn von n Dimensionen, in dem sich die Variablen der gew6hnlichen Funktionen bewegen. Der Rn ist dadurch ausgezeichnet, daB in ihm die Distanz zweier Punkte Xl = (Xll' ---, Xl II), X2 = (X21> --., X2 n) als die positive Wurzel aus n d (Xl, X2)2 = (Xl v - X2v)2 . -1 definiert ist. Es liegt nahe, im Raum der in dem endlichen oder unend- lichen IntervaU (a, b) definierten Funktionen die Distanz zweier Ele- 2 mente 11, 12 durch den entsprechenden Ausdruck b d (11, 12)2 = jill (X) - 12 (X) 12 dx a zu definieren. Insbesondere ist die Distanz einer Funktion I (x) vom NuUpunkt, d. h.