This book arose from a course of lectures given by the first author during the winter term 1977/1978 at the University of Munster (West Germany). The course was primarily addressed to future high school teachers of mathematics; it was not meant as a systematic introduction to number theory but rather as a historically motivated invitation to the subject, designed to interest the audience in number-theoretical questions and developments. This is also the objective of this book, which is certainly not meant to replace any of the existing excellent texts in number theory. Our selection of topics and examples tries to show how, in the historical development, the investigation of obvious or natural questions has led to more and more comprehensive and profound theories, how again and again, surprising connections between seemingly unrelated problems were discovered, and how the introduction of new methods and concepts led to the solution of hitherto unassailable questions. All this means that we do not present the student with polished proofs (which in turn are the fruit of a long historical development); rather, we try to show how these theorems are the necessary consequences of natural questions. Two examples might illustrate our objectives."

For a long time - at least from Fermat to Minkowski - the theory of quadratic forms was a part of number theory. Much of the best work of the great number theorists of the eighteenth and nineteenth century was concerned with problems about quadratic forms. On the basis of their work, Minkowski, Siegel, Hasse, Eichler and many others crea ted the impressive "arithmetic" theory of quadratic forms, which has been the object of the well-known books by Bachmann (1898/1923), Eichler (1952), and O'Meara (1963). Parallel to this development the ideas of abstract algebra and abstract linear algebra introduced by Dedekind, Frobenius, E. Noether and Artin led to today's structural mathematics with its emphasis on classification problems and general structure theorems. On the basis of both - the number theory of quadratic forms and the ideas of modern algebra - Witt opened, in 1937, a new chapter in the theory of quadratic forms. His most fruitful idea was to consider not single "individual" quadratic forms but rather the entity of all forms over a fixed ground field and to construct from this an algebra ic object. This object - the Witt ring - then became the principal object of the entire theory. Thirty years later Pfister demonstrated the significance of this approach by his celebrated structure theorems."

This book arose from a course of lectures given by the first author during the winter term 1977/1978 at the University of Munster (West Germany). The course was primarily addressed to future high school teachers of mathematics; it was not meant as a systematic introduction to number theory but rather as a historically motivated invitation to the subject, designed to interest the audience in number-theoretical questions and developments. This is also the objective of this book, which is certainly not meant to replace any of the existing excellent texts in number theory. Our selection of topics and examples tries to show how, in the historical development, the investigation of obvious or natural questions has led to more and more comprehensive and profound theories, how again and again, surprising connections between seemingly unrelated problems were discovered, and how the introduction of new methods and concepts led to the solution of hitherto unassailable questions. All this means that we do not present the student with polished proofs (which in turn are the fruit of a long historical development); rather, we try to show how these theorems are the necessary consequences of natural questions. Two examples might illustrate our objectives."

Felix Hausdorff gehort zu den herausragenden Mathematikern der ersten Halfte des 20. Jahrhunderts. Eine Gesamtausgabe seiner Werke galt lange als Desideratum. Die auf 8 Bande veranschlagte Edition wird Hausdorffs gesamtes publiziertes Opus enthalten, ferner eine Reihe bemerkenswerter Stucke aus dem umfangreichen wissenschaftlichen Nachlass. Alle Texte werden von Fachleuten auf den einzelnen Gebieten sorgfaltig kommentiert; an dieser Arbeit sind mehr als 20 Mathematiker, Mathematikhistoriker, Astronomen, Philosophen und Literaturwissenschaftler aus vier Staaten beteiligt. Der vorliegende Band IV enthalt Hausdorffs Arbeiten zur Analysis, Algebra und Zahlentheorie, darunter die klassischen auch heute noch vielzitierten Texte zu Hausdorff-Mass und Hausdorff-Dimension und zum Hausdorffschen Kugelparadoxon. Aus dem Nachlass werden 19 Faszikel publiziert, ferner einige interessante Briefe.

Dieses Biichlein enthalt, was meines Erachtens jeder zum AbschluB der hoheren Schule und Beginn des Studiums von der Mathematik wissen sollte. Zweifellos laBt sich dariiber streiten, was zum unverzichtbaren Ba- siswissen gehort oder gehoren sollte. Die von mir getroffene - eher konser- vative - Stoffauswahl ist sicher subjektiv und wird vermutlich auf Zustim- mung ebenso stoBen wie auch auf Kritik. Ich denke jedoch, daB der Text ungefahr das enthalt, was von Studienanfangern in natur-, ingenieur- und wirtschaftswissenschaftlichen Fachern erwartet wird. Es ist also primar nicht fUr (zukiinftige) Studierende der Mathematik geschrieben, kann aber vielleicht auch fUr diese als "Vorkurs" dienen. Das Buch wird sich kaum als Lehrbuch eignen. Es ist zum Wiederholen gedacht oder zum N achschlagen eines Begriffes, Satzes oder mathema- tischen Zusammenhanges, an den man sich erinnert, den man aber im Laufe der Zeit vergessen hat. Es konnte auch als Leitfaden und Wegweiser fur einen griindlicheren Wiederholungs-, Briicken- oder Erganzungskurs dienen, sei es im Selbststudium, sei es unter Anleitung.

Dieses Buch ist aus einer Vorlesung entstanden, die vom ersten der bei- den Verfasser im Wintersemester 1977/78 an der Universitat Munster ge- halten wurde. In dieser Vorlesung, die sich vor allem an Lehrerstuden- ten wandte, ging es nicht so sehr urn systematische Wissensvermittlung, sondern darum, Interesse an zahlentheoretischen Fragestellungen und Entwicklungen zu wecken, wobei vor allem historische Zusarnrnenhange in den Vordergrund gestellt wurden. Bei dieser Zielsetzung ist auch das Buch geblieben, das keines der vie len vorhandenen ausgezeichneten Bu- cher uber Zahlentheorie ersetzen kann oder will. Wir versuchen, an aus- gewahlten Beispielen zu zeigen, wie aus der Untersuchung naheliegender zahlentheoretischer Probleme im Laufe der geschichtlichen Entwicklung irnrner umfangreichere und tiefere Theorien entstanden sind, wie irnrner wieder neue unerwartete Zusarnrnenhange zwischen scheinbar ganz verschie- denen Problemkreisen entdeckt wurden und wie die Einfuhrung neuer Metho- den und Begriffe oft die Losung lange Zeit unangreifbar erscheinender Probleme ermoglichte. Wir wollen also einige wichtige Satze der Zahlen- theorie den Studierenden nicht als fertiges Ergebnis in einer Formulie- rung und mit Beweisen, die Endprodukte einer langen Entwicklung sind, vorsetzen, sondern wir versuchen darzustellen, wie sich diese Satze notwendig aus naheliegenden Fragestellungen ergeben haben.

Felix Hausdorff gehArt zu den herausragenden Mathematikern der ersten HAlfte des 20. Jahrhunderts. Eine Gesamtausgabe seiner Werke galt lange als Desideratum. Die auf 8 BAnde veranschlagte Edition wird Hausdorffs gesamtes publiziertes Opus enthalten, ferner eine Reihe bemerkenswerter StA1/4cke aus dem umfangreichen wissenschaftlichen NachlaA. Alle Texte werden von Fachleuten auf den einzelnen Gebieten sorgfAltig kommentiert; an dieser Arbeit sind mehr als 20 Mathematiker, Mathematikhistoriker, Astronomen, Philosophen und Literaturwissenschaftler aus vier Staaten beteiligt. Der vorliegende Band IV enthAlt Hausdorffs Arbeiten zur Analysis, Algebra und Zahlentheorie, darunter die klassischen auch heute noch vielzitierten Texte zu Hausdorff-MaA und Hausdorff-Dimension und zum Hausdorffschen Kugelparadoxon. Aus dem NachlaA werden 19 Faszikel publiziert, ferner einige interessante Briefe.