The series is devoted to the publication of monographs and high-level textbooks in mathematics, mathematical methods and their applications. Apart from covering important areas of current interest, a major aim is to make topics of an interdisciplinary nature accessible to the non-specialist. The works in this series are addressed to advanced students and researchers in mathematics and theoretical physics. In addition, it can serve as a guide for lectures and seminars on a graduate level. The series de Gruyter Studies in Mathematics was founded ca. 35 years ago by the late Professor Heinz Bauer and Professor Peter Gabriel with the aim to establish a series of monographs and textbooks of high standard, written by scholars with an international reputation presenting current fields of research in pure and applied mathematics. While the editorial board of the Studies has changed with the years, the aspirations of the Studies are unchanged. In times of rapid growth of mathematical knowledge carefully written monographs and textbooks written by experts are needed more than ever, not least to pave the way for the next generation of mathematicians. In this sense the editorial board and the publisher of the Studies are devoted to continue the Studies as a service to the mathematical community. Please submit any book proposals to Niels Jacob. Titles in planning include Flavia Smarazzo and Alberto Tesei, Measure Theory: Radon Measures, Young Measures, and Applications to Parabolic Problems (2019) Elena Cordero and Luigi Rodino, Time-Frequency Analysis of Operators (2019) Mark M. Meerschaert, Alla Sikorskii, and Mohsen Zayernouri, Stochastic and Computational Models for Fractional Calculus, second edition (2020) Mariusz Lemanczyk, Ergodic Theory: Spectral Theory, Joinings, and Their Applications (2020) Marco Abate, Holomorphic Dynamics on Hyperbolic Complex Manifolds (2021) Miroslava Antic, Joeri Van der Veken, and Luc Vrancken, Differential Geometry of Submanifolds: Submanifolds of Almost Complex Spaces and Almost Product Spaces (2021) Kai Liu, Ilpo Laine, and Lianzhong Yang, Complex Differential-Difference Equations (2021) Rajendra Vasant Gurjar, Kayo Masuda, and Masayoshi Miyanishi, Affine Space Fibrations (2022)

The question of existence of c10sed geodesics on a Riemannian manifold and the properties of the corresponding periodic orbits in the geodesic flow has been the object of intensive investigations since the beginning of global differential geo metry during the last century. The simplest case occurs for c10sed surfaces of negative curvature. Here, the fundamental group is very large and, as shown by Hadamard [Had] in 1898, every non-null homotopic c10sed curve can be deformed into a c10sed curve having minimallength in its free homotopy c1ass. This minimal curve is, up to the parameterization, uniquely determined and represents a c10sed geodesic. The question of existence of a c10sed geodesic on a simply connected c10sed surface is much more difficult. As pointed out by Poincare [po 1] in 1905, this problem has much in common with the problem ofthe existence of periodic orbits in the restricted three body problem. Poincare [l.c.] outlined a proof that on an analytic convex surface which does not differ too much from the standard sphere there always exists at least one c10sed geodesic of elliptic type, i. e., the corres ponding periodic orbit in the geodesic flow is infinitesimally stable.

Aus den Besprechungen ..". dieses gehaltvolle Buch ... ist je zur Halfte der linearen Algebra und der klassischen Geometrie gewidmet. Neben dem Standardmaterial der linearen Algebra werden auch eingehend die Jordansche Normalform und deren Anwendung auf die Losung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und, ausfuhrlicher als ublich, einiges aus der Hilberttheorie behandelt.... Wegen seiner reichen und interessanten Stoffauswahl und der Okonomie der Darstellung ist das Buch sowohl als Grundlage von Vorlesungen wie zum Selbststudium bestens geeignet." #"Internationale Mathematische " "Nachrichten"#1 In der nun 3. Auflage finden sich auf oft geausserten Wunsch erneut zahlreiche Ubungsaufgaben."

Aus dem Vorwort: "Globale Probleme der Differentialgeometrie erfreuen sich eines immer noch wachsenden Interesses. Gerade in der Riemannschen Geometrie hat die Frage nach Beziehungen zwischen Riemannscher und topologischer Struktur in neuerer Zeit zu vielen schonen und uberraschenden Einsichten gefuhrt. Dabei denken wir hier vor allem an den Problemkreis: Welche topologischen Invarianten werden charakterisiert durch eine der wichtigsten isometrischen Invarianten, die Krummung? Ziel der folgenden Noten ist, einige zentrale Resultate in dieser Richtung darzustellen.... Wir haben uns bemuht, die Darstellung moglichst elementar und in sich abgeschlossen zu halten und einen einfachen leistungsfahigen Kalkul zu entwickeln.""

Das vorliegende Buch ist aus einer 1-semestrigen Vorlesung iiber DifTerentialgeometrie entstanden, die ich wiederholt in Gottingen, Mainz und Bonn gehalten habe. Mit dieser Vorlesung verfolgte ich das Ziel, den Studenten mittlerer Semester, die die Anfangervorlesungen gemeistert haben, eine Einfiihrung in die klassische Differentialgeometrie der Kurven und FIachen anzubieten und damit eine Alternative zu offerieren zu anderen Vorlesungen fiir mittlere Semester, wie etwa Funktionen theorie, Hohere Algebra oder Algebraische Topologie. Fiir den groBten Teil der Vorlesung wird nichts weiter als eine griindliche Kenntnis der Vorlesung iiber Analysis sowie die Kennt nis der reellen linearen Algebra und der euklidischen Geometrie vorausgesetzt. Nur in spiiteren Kapiteln, wo ich auch globale Fragen behandle, ist eine gewisse Vertrautheit mit der Topologie kompakter Fliichen von Nutzen; dabei wird aber nichts benutzt, was sich nicht in dem klassischen Topologie-Lehrbuch von Seifert und Threlfall findet. Fiir eine Obersicht iiber den Inhalt der Vorlesung verweise ich auf das Verzeichnis. Natiirlich muBte ich eine Auswahl treffen aus der Fiille des Materials, das fiir eine solche Vorlesung zur Verfiigung steht. Fiir mich ergab es sich ganz von seIber, daB da bei solche Gegenstiinde bevorzugt wurden, die der 2-dimensionalen riemannschen Geometrie zuzurechnen sind. Dennoch denke ich, daB meine Vorlesung eine brauchbare Grundlage fiir das Verstiindnis aller Teilgebiete der Differentialgeometrie liefert."