Dieses Buch will in das Gebiet der "Stochastischen Analysis" einfuhren. Was ist unter dieser Begriffsverbindung zu verstehen? Wurde man die Stochastik beiseite lassen und nur den deterministischen Spezialfall der Theorie betrachten, so bliebe ein Stuck klassischer Analysis fur Funktionen einer reellen Variablen, vor allem Grenzwerttheorie, Differential- und Integralrechnung und die Theorie gewohnli cher Differentialgleichungen. Nimmt man aber eine geeignete Zufallsabhangigkeit hinzu, so eroffnet sich ein moderner Zweig der Theorie der Stochastischen Prozesse mit neuartigen rechnerischen Moglichkeiten und unerwarteten Einsichten. Diese beschranken sich keineswegs auf stochastische Zusammenhange, etwa ein tieferes Verstandnis der Brownschen Bewegung und ihrer fundamentalen Rolle in der Be schreibung von Fluktuationsphanomenen. Vielmehr erlaubt die Einbeziehung des Zufalls als eines weiteren Freiheitsgrades in die Analysis Bruckenschlage zu an deren Gebieten der Mathematik und Mathematischen Physik. So ergeben sich Querverbindungen zwischen partiellen Differentialgleichungen und stochastischen gewohnlichen Differentialgleichungen; das Studium stochastischer Flusse auf Man nigfaltigkeiten ist eng mit deren Geometrie (insbesondere Krummung) verknupft; Pfadintegraldarstellungen von Schrodinger-Halbgruppen prazisieren und begrun den physikalische Betrachtungsweisen von Dirac und Feynman uber den Zusam menhang von klassischer und Quantenmechanik - und vieles andere. Ein kurzes Wort zu den Absichten dieses Textes. Zunachst sei eingestanden, dass unser Ausgangspunkt und damit auch die Argumentationsweise in erster Linie analytisch ist, was bedeuten soll, dass wir im Zweifel etwa einem detaillierten mass theoretischen oder (im letzten Kapitel) differentialgeometrischen vor einem mehr intuitiven probabilistischen Argument den Vorzug gegeben haben."

Der vorliegende Text tiber Integration ist aus einem dreisemestrigen Grundkurs "Analysis" hervorgegangen. Diesem Ursprung, wie auch der Erfahrung, daB es den Studenten hoherer Vorlesungen aus der Analysis oder Stochastik haufig an maBtheoretischem Grundwissen mangelt, ent- sprechen die Ziele dieser Einftihrung, namlich - von den im Laufe des ersten Semesters erworbenen mathematischen Kenntnissen auszugehen -Riemann-Stieltjes-Integrale tiber Intervallen an den Anfang zu stell en und gerade so weit zu entwickeln, wie sie nach wie vor von Nutzen sind, mit beliebigen Verteilungsfunktionen als Integratoren, und unter EinschluB n von Kurvenintegralen im R -davon unabhangig dann das Lebesgue-Integral tiber allgemeinen MaB- raumen aufzubauen, wobei im Zweifel stets der handlicheren, wenn auch etwas spezielleren Formulierung vor maBtheoretischen Verfeinerungen der Vorzug gegeben wurde -schlieBlich die Theorie auch anzuwenden. Ais Anwendungen werden solche Themenkreise der Analysis behandelt, die einerseits von grundsatzlichem eigenen Interesse sind, und wo anderer- seits ein flexibler Integralbegriff unentbehrlich ist. Hierzu gehort ein Pa- ragraph iiber Fouriertransformation auf dem Rn, dann eine ausfiihrliche Behandlung der auf Faltung mit glatten Funktionen beruhenden Reich- haltigkeitssatze fiir Testfunktionen in Verbindung mit den Grundideen der Distributionentheorie, aber auch, als Beispiel fiir die Kraft von Hil- bertraumschliissen und damit fur die Bedeutung der Vollstandigkeit des 2 Raumes L (, ), ein Beweis des Radon-Nikodym'schen Satzes iiber die Exi- stenz von Dichten.