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This book is the English translation of Baumgart's thesis on the
early proofs of the quadratic reciprocity law ("UEber das
quadratische Reciprocitatsgesetz. Eine vergleichende Darstellung
der Beweise"), first published in 1885. It is divided into two
parts. The first part presents a very brief history of the
development of number theory up to Legendre, as well as detailed
descriptions of several early proofs of the quadratic reciprocity
law. The second part highlights Baumgart's comparisons of the
principles behind these proofs. A current list of all known proofs
of the quadratic reciprocity law, with complete references, is
provided in the appendix. This book will appeal to all readers
interested in elementary number theory and the history of number
theory.
This book is about the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisenstein's reciprocity law. An extensive bibliography will be of interest to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.
This volume consists of the English translations of the letters
exchanged between Emil Artin to Helmut Hasse written from 1921
until 1958. The letters are accompanied by extensive comments
explaining the mathematical background and giving the information
needed for understanding these letters. Most letters deal with
class field theory and shed a light on the birth of one of its most
profound results: Artin's reciprocity law.
This book is the English translation of Baumgart’s thesis on the
early proofs of the quadratic reciprocity law (“Über das
quadratische Reciprocitätsgesetz. Eine vergleichende Darstellung
der Beweise”), first published in 1885. It is divided into two
parts. The first part presents a very brief history of the
development of number theory up to Legendre, as well as detailed
descriptions of several early proofs of the quadratic reciprocity
law. The second part highlights Baumgart’s comparisons of the
principles behind these proofs. A current list of all known proofs
of the quadratic reciprocity law, with complete references, is
provided in the appendix. This book will appeal to all readers
interested in elementary number theory and the history of number
theory.
This book covers the development of reciprocity laws, starting from
conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre,
Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in
basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed
discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic,
sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and
Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will be of
interest to readers interested in the history of reciprocity laws
or in the current research in this area.
HAchst lebendig geschrieben und A1/4berzeugend dargestellt fA1/4hrt
dieses Werk Studierende der Mathematik in die klassische Algebra
ein. Zum VerstAndnis genA1/4gen Grundkenntnisse auf dem Gebiet der
Linearen Algebra. HerzstA1/4ck ist die Galoistheorie mit ihren
verschiedenen Verzweigungen und Anwendungen. Ausgehend von den
klassischen Fragen der geometrischen Konstruierbarkeit spannt sich
der Bogen bis zur AuflAsbarkeit von algebraischen Gleichungen.
Themen wie das Quadratische ReziprozitAtsgesetz, transzendente
KArpererweiterungen und der Hilbertsche Nullstellensatz runden das
Werk ab. FA1/4r die vorliegende 4.Auflage wurde der Text
vollstAndig durchgesehen und an etlichen Stellen erweitert.
ZusAtzlich zu den vertiefenden Aufgaben wurden einfacher zu lAsende
Aoebungen (mit LAsungen auf www.elsevier.de) aufgenommen, die der
EinA1/4bung und dem VerstAndnis des Stoffes dienen. Das Lehrbuch
eignet sich ebenso zur Vorlesungsbegleitung wie zum Selbststudium
und zur PrA1/4fungsvorbereitung.
Providing the first comprehensive account of the widely unknown
cooperation and friendship between Emmy Noether and Helmut Hasse,
this book contains English translations of all available letters
which were exchanged between them in the years 1925-1935. It
features a special chapter on class field theory, a subject which
was completely renewed in those years, Noether and Hasse being
among its main proponents. These historical items give evidence
that Emmy Noether's impact on the development of mathematics is not
confined to abstract algebra but also extends to important ideas in
modern class field theory as part of algebraic number theory. In
her letters, details of proofs appear alongside conjectures and
speculations, offering a rich source for those who are interested
in the rise and development of mathematical notions and ideas. The
letters are supplemented by extensive comments, helping the reader
to understand their content within the mathematical environment of
the 1920s and 1930s.
This undergraduate textbook provides an elegant introduction to the
arithmetic of quadratic number fields, including many topics not
usually covered in books at this level. Quadratic fields offer an
introduction to algebraic number theory and some of its central
objects: rings of integers, the unit group, ideals and the ideal
class group. This textbook provides solid grounding for further
study by placing the subject within the greater context of modern
algebraic number theory. Going beyond what is usually covered at
this level, the book introduces the notion of modularity in the
context of quadratic reciprocity, explores the close links between
number theory and geometry via Pell conics, and presents
applications to Diophantine equations such as the Fermat and
Catalan equations as well as elliptic curves. Throughout, the book
contains extensive historical comments, numerous exercises (with
solutions), and pointers to further study. Assuming a moderate
background in elementary number theory and abstract algebra,
Quadratic Number Fields offers an engaging first course in
algebraic number theory, suitable for upper undergraduate students.
Algebra ohne Buchstaben - geht das? Das geht in der Tat: Schon vor
4000 Jahren haben die Babylonier herausgefunden, wie man
quadratische Gleichungen loest; das Rechnen mit Buchstaben, wie wir
es auf der Schule gelernt haben, ist dagegen kaum ein halbes
Jahrtausend alt. Antworten auf die Frage, wie die Babylonier dabei
vorgegangen sind, gibt dieses Buch. Aufbauend auf der Mathematik
der ersten neun Schuljahre wird erklart, wie die Babylonier ihre
Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgefuhrt
und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme
formuliert und dann mit geometrischen Mitteln geloest haben. Die
Virtuositat, mit der sie ihre vergleichsweise bescheidenen
Techniken angewandt haben, ist teilweise atemberaubend. Wer sich
fur einen elementaren Zugang in die Welt der babylonischen Algebra
interessiert, wird um dieses Buch kaum herumkommen. Vom gleichen
Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik a la Carte -
Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen
Bemerkungen sowie Mathematik a la Carte - Quadratische Gleichungen
mit Schnitten von Kegeln.
Die Theorie der quadratischen Zahlkoerper ist der erste Schritt hin
auf eine allgemeine Theorie algebraischer Zahlkoerper. In diesem
Buch werden die Hauptsatze der Theorie nicht auf dem kurzesten Weg
bewiesen; vielmehr nehmen wir uns die Zeit, uns auf kleinen Umwegen
mit den neuen Objekten vertraut zu machen und die Satze an vielen
Beispielen zu illustrieren. Ausserdem gehen wir ausfuhrlich auf die
Geschichte der algebraischen Zahlentheorie ein und besprechen
einige fur die Entwicklung dieser Disziplin wichtige Beispiele.
Dabei spielen vor allem diophantische Gleichungen eine grosse
Rolle. Abgerundet wird das Buch durch zahlreiche UEbungsaufgaben
und eine kurze Einfuhrung in das Rechnen mit Pari und Sage.
Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar
auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange
Zeit den Schulunterricht gepragt hat. Die Leser koennen einen
kurzen Blick auf die 4000-jahrige Geschichte der quadratischen
Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der
Kegelschnitte zu tun haben. Daruber hinaus lernen sie Anwendungen
der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und
entdecken, wie leistungsfahig selbst elementare Mathematik ist,
wenn man sie ernst nimmt. Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas
uber die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die
Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu
einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eroeffnen.
Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik
a la Carte - Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen
geschichtlichen Bemerkungen.
Wenn heutzutage Mathematik auf dem Speiseplan steht, kommen bei
Schulern eher selten Begeisterungssturme auf. Auch Lehrer, die noch
wissen, was man vor 30 Jahren am Gymnasium unterrichtet hat, haben
bisweilen das Gefuhl, dass das Fach Mathematik in der Kursstufe in
manchen Bundeslandern nach den Reformen der letzten Jahre zur
mathematikfreien Zone degeneriert ist. So wie die Werbung uns
glauben macht, ein Produkt aus Gelatine und kunstlichen Aromen sei
eine gesunde Zwischenmahlzeit, so wollen uns manche Didaktiker
erklaren, im heutigen Unterricht wurden einfach nur andere
Kompetenzen betont. Der Autor, der nach einigen Zwischenstationen
an Universitaten in den USA und der Turkei seit 2007 an einem
Gymnasium im Suden Deutschlands unterrichtet, gehoert zu den
Kritikern der modernen Didaktik, die wie die beruhmten Bewohner
eines kleinen gallischen Dorfs einer UEbermacht von empirischen
Bildungsforschern gegenuberstehen, und hat sich nicht davon
uberzeugen koennen, dass es mathematische Kompetenzen ohne
Kenntnisse und Fertigkeiten gibt. Damit der Inhalt wieder seinen
Weg zuruck in den Unterricht finden kann, soll dieser (erste) Band
statt Schokoschnitten wieder AEpfel anpreisen: Elementare Geometrie
und etwas Algebra im Zusammenhang mit klassischen Themen wie dem
Satz des Pythagoras, dem Satz des Thales, oder den schon lange
entsorgten Kernsatzen des Euklid, garniert mit zahlreichen
historischen Bemerkungen und vielen Aufgaben und UEbungen.
When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of
Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted
by the Academy’s secretary, the Prussian jurist and amateur
mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would
grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters
sent over 35 years. This exchange – Euler’s most substantial
long-term correspondence – has now been edited for the first time
with an English translation, ample commentary and documentary
indices. These present an overview of 18th-century number theory,
its sources and repercussions, many details of the protagonists’
biographies, and a wealth of insights into academic life in St.
Petersburg and Berlin between 1725 and 1765. Part I includes an
introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters,
while Part II presents the English translations and documentary
indices.
When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of
Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted
by the Academy's secretary, the Prussian jurist and amateur
mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would
grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters
sent over 35 years. This exchange - Euler's most substantial
long-term correspondence - has now been edited for the first time
with an English translation, ample commentary and documentary
indices. These present an overview of 18th-century number theory,
its sources and repercussions, many details of the protagonists'
biographies, and a wealth of insights into academic life in St.
Petersburg and Berlin between 1725 and 1765. Part I includes an
introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters,
while Part II presents the English translations and documentary
indices.
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