This book is the English translation of Baumgart’s thesis on the early proofs of the quadratic reciprocity law (“Über das quadratische Reciprocitätsgesetz. Eine vergleichende Darstellung der Beweise”), first published in 1885. It is divided into two parts. The first part presents a very brief history of the development of number theory up to Legendre, as well as detailed descriptions of several early proofs of the quadratic reciprocity law. The second part highlights Baumgart’s comparisons of the principles behind these proofs. A current list of all known proofs of the quadratic reciprocity law, with complete references, is provided in the appendix. This book will appeal to all readers interested in elementary number theory and the history of number theory.

This book is the English translation of Baumgart's thesis on the early proofs of the quadratic reciprocity law ("UEber das quadratische Reciprocitatsgesetz. Eine vergleichende Darstellung der Beweise"), first published in 1885. It is divided into two parts. The first part presents a very brief history of the development of number theory up to Legendre, as well as detailed descriptions of several early proofs of the quadratic reciprocity law. The second part highlights Baumgart's comparisons of the principles behind these proofs. A current list of all known proofs of the quadratic reciprocity law, with complete references, is provided in the appendix. This book will appeal to all readers interested in elementary number theory and the history of number theory.

This volume consists of the English translations of the letters exchanged between Emil Artin to Helmut Hasse written from 1921 until 1958. The letters are accompanied by extensive comments explaining the mathematical background and giving the information needed for understanding these letters. Most letters deal with class field theory and shed a light on the birth of one of its most profound results: Artin's reciprocity law.

This book covers the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisensteins reciprocity law. An extensive bibliography will be of interest to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.

This book is about the development of reciprocity laws, starting from conjectures of Euler and discussing the contributions of Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, and Eisenstein. Readers knowledgeable in basic algebraic number theory and Galois theory will find detailed discussions of the reciprocity laws for quadratic, cubic, quartic, sextic and octic residues, rational reciprocity laws, and Eisenstein's reciprocity law. An extensive bibliography will be of interest to readers interested in the history of reciprocity laws or in the current research in this area.

HAchst lebendig geschrieben und A1/4berzeugend dargestellt fA1/4hrt dieses Werk Studierende der Mathematik in die klassische Algebra ein. Zum VerstAndnis genA1/4gen Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Linearen Algebra. HerzstA1/4ck ist die Galoistheorie mit ihren verschiedenen Verzweigungen und Anwendungen. Ausgehend von den klassischen Fragen der geometrischen Konstruierbarkeit spannt sich der Bogen bis zur AuflAsbarkeit von algebraischen Gleichungen. Themen wie das Quadratische ReziprozitAtsgesetz, transzendente KArpererweiterungen und der Hilbertsche Nullstellensatz runden das Werk ab. FA1/4r die vorliegende 4.Auflage wurde der Text vollstAndig durchgesehen und an etlichen Stellen erweitert. ZusAtzlich zu den vertiefenden Aufgaben wurden einfacher zu lAsende Aoebungen (mit LAsungen auf www.elsevier.de) aufgenommen, die der EinA1/4bung und dem VerstAndnis des Stoffes dienen. Das Lehrbuch eignet sich ebenso zur Vorlesungsbegleitung wie zum Selbststudium und zur PrA1/4fungsvorbereitung.

Providing the first comprehensive account of the widely unknown cooperation and friendship between Emmy Noether and Helmut Hasse, this book contains English translations of all available letters which were exchanged between them in the years 1925-1935. It features a special chapter on class field theory, a subject which was completely renewed in those years, Noether and Hasse being among its main proponents. These historical items give evidence that Emmy Noether's impact on the development of mathematics is not confined to abstract algebra but also extends to important ideas in modern class field theory as part of algebraic number theory. In her letters, details of proofs appear alongside conjectures and speculations, offering a rich source for those who are interested in the rise and development of mathematical notions and ideas. The letters are supplemented by extensive comments, helping the reader to understand their content within the mathematical environment of the 1920s and 1930s.

This undergraduate textbook provides an elegant introduction to the arithmetic of quadratic number fields, including many topics not usually covered in books at this level. Quadratic fields offer an introduction to algebraic number theory and some of its central objects: rings of integers, the unit group, ideals and the ideal class group. This textbook provides solid grounding for further study by placing the subject within the greater context of modern algebraic number theory. Going beyond what is usually covered at this level, the book introduces the notion of modularity in the context of quadratic reciprocity, explores the close links between number theory and geometry via Pell conics, and presents applications to Diophantine equations such as the Fermat and Catalan equations as well as elliptic curves. Throughout, the book contains extensive historical comments, numerous exercises (with solutions), and pointers to further study. Assuming a moderate background in elementary number theory and abstract algebra, Quadratic Number Fields offers an engaging first course in algebraic number theory, suitable for upper undergraduate students.

Algebra ohne Buchstaben - geht das? Das geht in der Tat: Schon vor 4000 Jahren haben die Babylonier herausgefunden, wie man quadratische Gleichungen loest; das Rechnen mit Buchstaben, wie wir es auf der Schule gelernt haben, ist dagegen kaum ein halbes Jahrtausend alt. Antworten auf die Frage, wie die Babylonier dabei vorgegangen sind, gibt dieses Buch. Aufbauend auf der Mathematik der ersten neun Schuljahre wird erklart, wie die Babylonier ihre Zahlen geschrieben haben, wie sie die Grundrechenarten ausgefuhrt und Wurzeln berechnet haben, und wie sie quadratische Probleme formuliert und dann mit geometrischen Mitteln geloest haben. Die Virtuositat, mit der sie ihre vergleichsweise bescheidenen Techniken angewandt haben, ist teilweise atemberaubend. Wer sich fur einen elementaren Zugang in die Welt der babylonischen Algebra interessiert, wird um dieses Buch kaum herumkommen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik a la Carte - Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen sowie Mathematik a la Carte - Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln.

Die Theorie der quadratischen Zahlkoerper ist der erste Schritt hin auf eine allgemeine Theorie algebraischer Zahlkoerper. In diesem Buch werden die Hauptsatze der Theorie nicht auf dem kurzesten Weg bewiesen; vielmehr nehmen wir uns die Zeit, uns auf kleinen Umwegen mit den neuen Objekten vertraut zu machen und die Satze an vielen Beispielen zu illustrieren. Ausserdem gehen wir ausfuhrlich auf die Geschichte der algebraischen Zahlentheorie ein und besprechen einige fur die Entwicklung dieser Disziplin wichtige Beispiele. Dabei spielen vor allem diophantische Gleichungen eine grosse Rolle. Abgerundet wird das Buch durch zahlreiche UEbungsaufgaben und eine kurze Einfuhrung in das Rechnen mit Pari und Sage.

Der zweite Band dieser Reihe macht Lust auf Mathematik, und zwar auf Mathematik, die wie die Elementargeometrie im ersten Band lange Zeit den Schulunterricht gepragt hat. Die Leser koennen einen kurzen Blick auf die 4000-jahrige Geschichte der quadratischen Gleichungen werfen und erfahren, was diese mit der Geometrie der Kegelschnitte zu tun haben. Daruber hinaus lernen sie Anwendungen der Kegelschnitte in der Physik und Astronomie kennen und entdecken, wie leistungsfahig selbst elementare Mathematik ist, wenn man sie ernst nimmt. Das letzte Kapitel geht inhaltlich etwas uber die klassische Schulmathematik hinaus und zeigt, wie die Algebra und die Geometrie der Kegelschnitte einen neuen Zugang zu einem bekannten Olympiadeproblem aus der Zahlentheorie eroeffnen. Vom gleichen Autor ist in der Reihe bereits erschienen: Mathematik a la Carte - Elementargeometrie an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen.

Wenn heutzutage Mathematik auf dem Speiseplan steht, kommen bei Schulern eher selten Begeisterungssturme auf. Auch Lehrer, die noch wissen, was man vor 30 Jahren am Gymnasium unterrichtet hat, haben bisweilen das Gefuhl, dass das Fach Mathematik in der Kursstufe in manchen Bundeslandern nach den Reformen der letzten Jahre zur mathematikfreien Zone degeneriert ist. So wie die Werbung uns glauben macht, ein Produkt aus Gelatine und kunstlichen Aromen sei eine gesunde Zwischenmahlzeit, so wollen uns manche Didaktiker erklaren, im heutigen Unterricht wurden einfach nur andere Kompetenzen betont. Der Autor, der nach einigen Zwischenstationen an Universitaten in den USA und der Turkei seit 2007 an einem Gymnasium im Suden Deutschlands unterrichtet, gehoert zu den Kritikern der modernen Didaktik, die wie die beruhmten Bewohner eines kleinen gallischen Dorfs einer UEbermacht von empirischen Bildungsforschern gegenuberstehen, und hat sich nicht davon uberzeugen koennen, dass es mathematische Kompetenzen ohne Kenntnisse und Fertigkeiten gibt. Damit der Inhalt wieder seinen Weg zuruck in den Unterricht finden kann, soll dieser (erste) Band statt Schokoschnitten wieder AEpfel anpreisen: Elementare Geometrie und etwas Algebra im Zusammenhang mit klassischen Themen wie dem Satz des Pythagoras, dem Satz des Thales, oder den schon lange entsorgten Kernsatzen des Euklid, garniert mit zahlreichen historischen Bemerkungen und vielen Aufgaben und UEbungen.

When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted by the Academy’s secretary, the Prussian jurist and amateur mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters sent over 35 years. This exchange – Euler’s most substantial long-term correspondence – has now been edited for the first time with an English translation, ample commentary and documentary indices. These present an overview of 18th-century number theory, its sources and repercussions, many details of the protagonists’ biographies, and a wealth of insights into academic life in St. Petersburg and Berlin between 1725 and 1765. Part I includes an introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters, while Part II presents the English translations and documentary indices.

When Leonhard Euler first arrived at the Russian Academy of Sciences, at the age of 20, his career was supported and promoted by the Academy's secretary, the Prussian jurist and amateur mathematician Christian Goldbach (1690-1764). Their encounter would grow into a lifelong friendship, as evinced by nearly 200 letters sent over 35 years. This exchange - Euler's most substantial long-term correspondence - has now been edited for the first time with an English translation, ample commentary and documentary indices. These present an overview of 18th-century number theory, its sources and repercussions, many details of the protagonists' biographies, and a wealth of insights into academic life in St. Petersburg and Berlin between 1725 and 1765. Part I includes an introduction and the original texts of the Euler-Goldbach letters, while Part II presents the English translations and documentary indices.