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These tables represent a new, revised and enlarged version of the
previously published book by this author, entitled "Tabellen zur
Fourier Transformation" (Springer Verlag 1957). Known errors have
been correc- ted, apart from the addition of a considerable number
of new results, which involve almost exclusively higher functions.
Again, the follow- ing tables contain a collection of integrals of
the form J f(x)cos(xy)dx Fourier Cosine Transform (Al o (B) J
f(x)sin(xy)dx Fourier Sine Transform o (C) ge(y) = J f(x)eixYdx
Exponential Fourier Transform -00 Clearly, (A) and (B) are special
cases of (C) if f(x) is respec- tively an even or an odd function.
The transform parameter y in (A) and (B) is assumed to be positive,
while in (C) negative values are also included. A possible analytic
continuation to complex parameters y* should present no
difficulties. In some cases the result function g(y) is given over
a partial range of y only. This means that g(y) for the remaining
part of y cannot be given in a reasonably simple form. Under
certain conditions the following inversion formulas for (A), (B),
(C) hold: (A' ) f(x) = 2 J g (y)cos(xy)dy 11 0 c 2 J (B') f (x)
gs(y)sin(xy)dy 11 0 -1 00 -ix (C' ) f(x) = (211) J ge(y)e Ydy In
the following parts I, II, III tables for the transforms (A), (B)
and (C) are given.
This book contains tables of integrals of the Mellin transform type
z-l J (a) 1> (z) q,(x)x dx o t Since the substitution x = e-
transforms (a) into (b) 1> (z) the Mellin transform is sometimes
referred to as the two sided Laplace transform. The use of the
Mellin transform in various problems in mathematical analysis is
well established. Parti cularly widespread and effective is its
application to problems arising in analytic number theory. This is
partially due to the fact that if c(z) corresponding to a given
q,(x) by (a) is known, then c(z) belonging to xaq,(x) or more
general to P xaq,(x ) (p real) is likewise known. (See particularly
the rules in sections 1. 1 and 2. 1 of this book. ) A list of major
contributions conce~ning Mellin trans forms is added at the end of
the introduction. Latin letters (unless otherwise stated) denote
real positive numbers while Greek letters denote complex parameters
within the given range of validity. The author is indebted to Mrs.
Jolan Eross for her tireless effort and patience while typing this
manuscript. Oregon State University Corvallis, Oregon May 1974
Fritz Oberhettinger Contents Part I. Mellin Transforms
Introduction. . . * . * * * . * . . . . . . . . . . . . * * * * . .
. * . * . . * * * . * . 1 Some Applications of the Mellin Transform
Analysis. **. ***. . . *. *. . . . ** . * . . . . . . **. . . . .
** 6 1. 1 General Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 2 Algebraic Functions and
Powers of Arbitrary Order . . . 13 1. 3 Exponential Functions. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
This material represents a collection of integrals of the Laplace-
and inverse Laplace Transform type. The usef- ness of this kind of
information as a tool in various branches of Mathematics is firmly
established. Previous publications include the contributions by A.
Erdelyi and Roberts and Kaufmann (see References). Special
consideration is given to results involving higher functions as
integrand and it is believed that a substantial amount of them is
presented here for the first time. Greek letters denote complex
parameters within the given range of validity. Latin letters denote
(unless otherwise stated) real positive parameters and a possible
extension to complex values by analytic continuation will often
pose no serious problem. The authors are indebted to Mrs. Jolan
Eross for her tireless effort and patience while typing this manu
script. Oregon State University Corvallis, Oregon Eastern Michigan
University Ypsilanti, Michigan The Authors Contents Part I. Laplace
Transforms In troduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. 1 General Formulas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. 2 Algebraic Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 12 1. 3 Powers of Arbitrary Order. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 21 1. 4 Sectionally Rational- and
Rows of Delta Functions 28 1. 5 Exponential Functions. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1. 6 Logarithmic
Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1. 7 Trigonometric Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 54 1. 8 Inverse Trigonometric Functions. . . . . . . .
. . . . . . . . . . 81 1. 9 Hyperbolic Functions. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1. 10 Inverse Hyperbolic
Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1. 11
Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 103 1. 12 Legendre Functions . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 113 1. 13 Bessel Functions of Order
Zero and Unity . . . . . . . . . 119 1. 14 Bessel Functions. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1. 15
Modified Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . ."
This material represents a collection of integral tra- forms
involving Bessel (or related) functions as kernel. The following
types of inversion formulas have been singled out. k I. g(y) = f
(x) (xy) 2J (xy) dx J V 0 k I' . f (x) g (y) (xy) 2J (xy) dy J V 0
II. g(y) f(x) (XY)~K (xy)dx J v 0 c+ioo k 1 II'. f (x) = g (y) (xy)
2 [Iv (xy) + I_v(xy)]dy J 27fT c-ioo or also c+ioo k 1 II". f(x) =
g (y) (xy) 2Iv (xy) dx J rri oo c-i k III. g(y) f(x) (xy) 2y (xy)
dx + J v 0 k III' . f(x) g(y) (xy) "1lv (xy) dy J 0 k IV. g(y) f
(x) (xy) "Kv (xy) dx J 0 k g(y) (xy) 2Y (xy)dy IV' * f(x) J v 0 V
Preface V. g(y) f(X)Kix(y)dx J 0 -2 -1 sinh (7TX) V'. f(x) 27T x
g(y)y Kix(y)dy J 0 21-~[r(~~+~-~v)r(~~+~+~v)]-1 VI. g(y) . J f (x)
(xy) ~s (xy) dx o ~,v l-~ -1 VI' . f(x) 2 [r (~~+~-~v) r (~~+~+~v)
] * * J -5 (xy)]dy g(y) (XY)~[S~,v(xy) ~,v 0 [xy)~]dX VII. g(y)
f(x)\ ~ J 0 0 VII' * f(x) g(y) \ [(xy) lz]dy ~ f 0 0 with \ (z) o
(For notations and definitions see the appendix of this book. ) The
transform VII is also known as the divisor transform.
VI Vorwort zur zweiten Auflage. Die neue Auflage unterseheidet sieh
yon rlpr ersten dureh die Vel' besserung einiger Irrttimer und
Druekfehler und dureh kleinere und gro13ere Zllsatze. Das Kapitel
liber elliptisehe Fuuktioncn wunI(' yollig- neu ge sehrieben; sein
Umfang hat sieh verdoppelt. QrUBere Zusatze finden sieh bei der
allgemeinen und del' konfluenten hypergeometrisehen Funktion, den
Zylinderfunktionen und der Gammafunktion. Als Anhang wurde ein Ab
sehnitt libel' elementare Funktioncn angefUgt, cler einige
Fourierreihen und solehe Formeln enthalt, die bei der Untersuehung
Bei den Anwendungen der elliptischen: Funktionen und Integrale auf
die Behandlung physikalischer oder technischer Fragen werden nicht
nur die grundlegenden Eigenschaften, sondern auch zahlreiche
spezielle Formeln aus der Theorie dieser Funktionen gebraucht. Wir
haben versucht, diesen Sachverhalt zu illustrieren durch eine
Zusammen- stellung von moeglichst verschiedenartigen Beispielen;
diese sind vor- zugsweise nach mathematischen Gesichtspunkten
ausgewahlt, aber, so- weit als moeglich, nach den
Anwendungsgebieten gruppiert worden. Mit Ausnahme der Satze uber
einige konforme Abbildungen werden keine Resultate aus der Theorie
der elliptischen Funktionen bewiesen; jedoch sind alle benutzten
Formeln im ersten Kapitel zusammengestellt und, wo dies noetig
erschien, mit einem Kommentar versehen worden. Einige Zahlentafeln
sind beigefugt worden; diese sollen dem Benutzer des Buches eine
rasche wenn auch nicht allzu genauenumerische Auswertung von vielen
der in den Beispielen auftretenden Formeln ermoeglichen. Dem
Springer-Verlag danken wir fur ein hilfreiches Eingehen auf unsere
Wunsche bei der Drucklegung des Buches. Mainz und Goettingen, im
Oktober 1948. Die Verfasser. In haltsverzeie.bnis.
Die nachfolgenden Tabellen stellen eine Sammlung von Integralen der
folgenden Form dar. 00 (1 ) g(y) = f I(x) cos(xy)dx (Erstes
Kapitel) 0 00 (2) g (y) = f I (x) sin (x y) d x (Zweites Kapitel) 0
00 ixy g(y) = Jt(x) e dx (Drittes Kapitel). (3 ) -00 Die Funktion
g(y) in (1), (2) und (3) wird der Reihe nach als FOURIER- Kosinus-,
FOURIER-Sinus-, und exponentielle FOURIER-Transformation der
Funktion I (x) bezeichnet. Unter gewissen Bedingungen [s. z. B.
eines der im Literaturverzeichnis unter a) aufgefiihrten WerkeJ
gelten die (1), (2) und (3) entsprechenden Umkehrformeln 00 (1 a)
I(x) = . f g(y) cos(xy) dy o 00 (2a) I(x) = J g(y) sin(xy) dy o 00
I(x) = . LJg(y) e-ixYdy. 2n -00 Offensichtlich geht das Formelpaar
(3), (3a) in (1), (1 a) oder (2), (2a) iiber, je nachdem I(x)
gerade oder ungerade ist. In den Tabellen sind Parameter die durch
lateinische Buchstaben bezeichnet sind, wenn nicht anders vermerkt,
als positiv und reell vorausgesetzt, wobei fUr die Beispiele im
dritten Kapitel der Parameter yauch negative Werte annimmt. In den
meisten Fallen ist der Giiltigkeitsbereich eines Formel- paares fUr
komplexe Werte dieser GraBen sofort ersichtlich. Griechische
Buchstaben bedeuten komplexe Parameter innerhalb des angegebenen
Giiltigkeitsbereiches. In einigen Fallen ist die Funktion g (y) nur
iiber einen Teilbereich von y angegeben. Dies bedeutet, daB sich g
(y) fUr den restlichen Bereich nicht in einfacher Form angeben
liiBt.
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer
Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags
von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv
Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche
Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext
betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor
1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen
Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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