Mit den hier abgedruckten klassischen biographischen Texten der Autoren Dirichlet, Kummer, Hensel, Frobenius und Hilbert werden dem Leser Einblicke in Leben und Werk herausragender Wissenschaftler erAffnet. AuAerdem erhAlt er authentische Informationen A1/4ber den Wissenschaftsbereich des 19. Jahrhunderts. Fotos und bisher unverAffentlichte Archivalien komplettieren diesen von H. Reichardt, dem langjAhrigen Direktor an den Mathematischen Instituten der Humboldt-UniversitAt Berlin sowie der Akademie der Wissenschaften, herausgegebenen Band.

von RIEMANNS Habilitationsvortrag (aus den 1876 bei Teubner erschienenen "Gesam- melten Mathematischen Werken" [11]), so daB wir hier darauf verzichten konnen. Uber die philosophischen Betrachtungen, die im Zusammenhang mit der Entwick- lung der Theorie der Parallelen und der nicht-euklidischen Geometrie angestellt wor- den sind, ist so viel geschrieben worden (schon GAUSS hat Bemerkungen dazu ge- macht; siehe etwa [35, S. 27/28; vgl. S. 33/34 dieses Bandes]), daB es unmoglich ist, im Rahmen dieses Buches darauf einzugehen. Zwei der Hauptfragen, nlimlich wie weit die euklidische oder die nicht-euklidische Geometrie unsere rliumliche Situation er- fassen konnen und wie es mit der inneren Widerspruchsfreiheit der nicht-euklidischen Geometrie steht, sind im Laufe meines Textes [35] immer wieder behandelt worden, so daB diese Betrachtungen hier nicht erweitert werden. Die Vorgehensweisen von GAUSS, BOLYAI und LoBATSCHEWSKI einerseits und KLEIN andererseits waren einander entgegengesetzt. Die ersteren gingen rein hypothetisch vor: Sie untersuchten die Frage, wie eine Geometrie aussehen miisse, in der das Paral- lelenaxiom nicht gelte, setzten also voraus, daB es eine solche Geometrie gibt, und muBten damit rechnen, daB bei nOlh weitergehenden Untersuchungen Widerspruche auftauchen wiirden. Sie zeigten also: Es gibt im wesentlichen hiichstens eine solche Geometrie. KLEIN dagegen gab ein konkretes Beispiel fUr eine solche Geometrie an, indem er die auf der projektiven MaBbestimmung beruhende Cayleysche Geometrie als Modell fUr eine nicht-euklidische Geometrie erkannte. Da dieses Modell auf der projektiven Geometrie beruhte, die man als widerspruchsfrei ansieht, hatte er damit ein Modell fUr die nicht-euklidische Geometrie angegeben.

In der Reihe "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" werden bedeutende klassische Arbeiten kommentiert, mit aktuellen Anmerkungen versehen und durch Literaturhin- weise ergiinzt. Dieser erste Band enthillt fotomechanische Nachdrucke von vier Beitragen der Mathe- matiker C. F. GAUSS, B. RIEMANN und H. MINKOWSKI. Diese Arbeiten waren grund- legend filr die Entwicklung und Weiterentwicklung der Differentialgeometrie als innere Geometrie bis zur allgemeinen Rel, ativitatstheorie. Es ist gewiB nicht nur ein Zufall, daB sich filr diese drei Manner die produktive Zeit des Wirkens auf dem genannten Gebiet der Geometrie in der Universitiitsstadt Gottingen vollzog. Durch die folgenden Satze ALBERT EINSTEINS aus seiner Abhandlung tiber die Grund- ztige der Relativitatstheorie aus dem Jahre 1922 lassen sich in einfacher und klarer Weise die diesbeztiglichen Verdienste dieser drei Mathematiker charakterisieren: "GAUSS hat in seiner Fliichentheorie die metrischen Eigenschaften einer in einem dreidimensionalen euklidischen Raum eingebetteten Fliiche untersucht und gezeigt, daB diese durch Begriffe beschrieben werden konnen, die sich nur auf die Flache selbst, nicht aber auf die Ein- bettung beziehen . . . RIEMANN dehnte den GauBschen Gedankengang auf Kontinua beliebiger Dimensionszahl aus; er hat die physikalische Bedeutung dieser Verallgemei- nerung der Geometrie EUKLIDS mit prophetischem Blick vorausgesehen . . . Durch die Einfilhrung der imaginiiren Zeitvariable X4 = it hat MINKOWSKI die Invariantentheorie des vierdimensionalen Kontinuums des physikalischen Geschehens der des dreidimen- sionalen Kontinuums des euklidischen Raumes vollig analog gemacht.