These notes consist of two parts: Selected in York 1) Geometry, New 1946, Topics University Notes Peter Lax. by Differential in the 2) Lectures on Stanford Geometry Large, 1956, Notes J.W. University by Gray. are here with no essential They reproduced change. Heinz was a mathematician who mathema- Hopf recognized important tical ideas and new mathematical cases. In the phenomena through special the central idea the of a or difficulty problem simplest background is becomes clear. in this fashion a crystal Doing geometry usually lead serious allows this to to - joy. Hopf's great insight approach for most of the in these notes have become the st- thematics, topics I will to mention a of further try ting-points important developments. few. It is clear from these notes that laid the on Hopf emphasis po- differential Most of the results in smooth differ- hedral geometry. whose is both t1al have understanding geometry polyhedral counterparts, works I wish to mention and recent important challenging. Among those of Robert on which is much in the Connelly rigidity, very spirit R. and in - of these notes (cf. Connelly, Conjectures questions open International of Mathematicians, H- of gidity, Proceedings Congress sinki vol. 1, 407-414) 1978, .

From the preface: "Hopf algebras, Hopf fibration of spheres, Hopf-Rinow complete Riemannian manifolds, Hopf theorem on the ends of groups - can one imagine modern mathematics without all this? Many other concepts and methods, fundamental in various mathematical disciplines, also go back directly or indirectly to the work of Heinz Hopf: homological algebra, singularities of vector fields and characteristic classes, group-like spaces, global differential geometry, and the whole algebraisation of topology with its influence on group theory, analysis and algebraic geometry. It is astonishing to realize that this oeuvre of a whole scientific life consists of only about 70 writings. Astonishing also the transparent and clear style, the concreteness of the problems, and how abstract and far-reaching the methods Hopf invented."

In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs" von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen heit und in die Zukunft weist: . in die Vergangenheit als Zusammen fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu kunft als zuverHissige Grundlage fUr weitere Forschungen. Die an und fUr sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungeh Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im Falle der Topologie' dadurch besonders erschwert, daB die Entwickhmg der Topo logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt, 'welche nur lose miteinander zusammenhangen. Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo logie diirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908) und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen lehre," 1914) gelten. In den letzten J ahren sind die Bficher von FREcHET ("Espaces abstra: rts"), von MENGER ("Dimensionstheorie," "Kurven theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen."

Am 19. November begeht Heinz Hopf seinen siebzigsten Geburtstag. Mit der Herausgabe dieser Selecta mochte die Eidgenossische Technische Hochschule, welcher er den groBten Teil seiner akademischen Tatigkeit gewidmet hat, ihren Dank zum Ausdruck bringen fUr sein fruchtbares Wirken als Forscher und Lehrer; sie ist stolz darauf, in ihm einen der bedeutendsten Mathematiker unserer Zeit zu den Ihren zahlen zu durfen. Die Ehrung zu seinem Geburtstage konnte kaum in schonerer Weise geschehen als durch die Publikation einer Sammlung seiner eigenen Arbeiten, in denen sich sein ganzes Lebenswerk widerspiegelt; jede einzelne hat durch ihre Tiefe und Originalitat uber ihren Gegenstand hinaus die Entwicklung der Mathematik entscheidend beeinfluBt. Aus strahlend von geometrischer, topologischer und algebraischer Sicht hat das Gedankengut Heinz Hopfs in ganz erstaunlicher Weise den meisten Teilen mathematischer Forschung der letzten J ahrzehnte das Geprage gegeben. Wem es vergonnt war, als SchUler oder Kollege mit Heinz Hopf in naheren Kontakt zu treten, dem wird der starke EinfluB seiner Personlichkeit in menschlicher und mathematischer Beziehung stets unvergeBlich sein; daruber hinaus aber hat eine unabsehbare Zahl von Mathematikern aus seinem Schaffen direkt und indirekt Anregung geschopft und an seine Ideen angeknupft und wird es auch weiterhin tun. Die Herausgeber sind davon uberzeugt, daB die mathematische Welt den vorliegenden Ruckblick auf das uberragende wissenschaftliche Werk Heinz Hopfs mit groBer Freude begruBen wird. Die Auswahl der aufzunehmenden Arbeiten war nicht leicht; sie muBte dem Wunsche Rechnung tragen, daB das Buch moglichst vielen zuganglich, also nicht zu umfangreich sein soUte."