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Ein echtes Verstandnis fur die moderne Mathematik ist nur moglich,
wenn man etwas uber die Geschichte der exakten Wissenschaften
weiss. Der Autor hat es in diesem Buch unternommen, das Wesentliche
am Leben und Werk einzelner Forscher deutlich werden zu lassen. Dem
Leser wird ein kurzweiliger Gang durch die Geschichte der
Mathematik von den Griechen bis zu den grossen Mathematikern
unseres Jahrhunderts geboten."We obtain indeed a glimpse into the
way these mathematicians thought." (D. J. Struik in "Mathematical
Reviews" 92 a)
Das Buch enthalt 185 vollstandige chronologisch geordnete Briefe
Cantors aus den verschiedenen Perioden seines Lebens, von denen ein
grosser Teil erstmals veroffentlicht wird. Aus ihnen wird die
Entwicklung des Cantorschen Werkes ebenso deutlich wie die Stellung
zu seinen Kollegen und das Ringen um die Anerkennung seiner
Theorie. Durch die Vollstandigkeit der Briefe und die damit
verbundene Einbeziehung auch privater Passagen gewinnt man daruber
hinaus Einblicke in Bereiche dieses Forscherlebens, ohne die man
die vielschichtige Personlichkeit Cantors kaum annahernd erfassen
kann. Man erkennt, dass manches an dem bisherigen "Cantorbild"
revisionsbedurftig ist oder zumindest differenzierter gesehen
werden muss. Die den Briefen beigegebenen erganzenden und
erlauternden Kommentare enthalten haufig Passagen aus
Antwortschreiben oder weiteren Briefen Cantors, die fur das
Verstandnis der behandelten Sachverhalte hilfreich sind oder sogar
neue Aspekte erkennen lassen. Ferner weisen sie auf Zusammenhange
zwischen den Briefen hin. Eine so ausgiebige Kommentierung ist bei
wissenschaftlichen Briefsammlungen nicht sehr verbreitet. Ebenfalls
hervorzuheben ist das sorgfaltig zusammengestellte Sachverzeichnis,
das zugleich Hinweise auf die in den Briefen behandelten Themen
gibt. Man gewinnt mit diesem Werk eine "Autobiographie" Cantors,
die zusammen mit den von Zermelo herausgegebenen "Gesammelten
Abhandlungen" (auf die haufig verwiesen wird) ein umfassendes Bild
von Leben und Werk dieses grossen Forschers liefert.
Die Hilbertschen Raume mit reproduzierendem Kern gehoren zu jenen
mathematischen Strukturen, die sich in vielen Gebieten der Analysis
anwenden lassen. Manche Klassen von analytischen Funktionen (von
einer oder mehreren komplexen Veranderlichen), aber auch gewisse
Mengen von L6sungen partieller Differentialgleichungen erweisen
sich als Hilbertsche Funktionenraume, die einen reproduzierenden
Kern besitzen. Bald nach Erscheinen der grundlegenden Arbeiten von
BERGMAN und BOCHNER im Jahre 1922 (s. Literaturverzeichnis) wurde
klar, daB die Einffihrung von "Kernfunktionen" besonders fUr die
Theorie der konformen Abbildung fruchtbar werden muBte. Wahrend in
der von KOEBE und seinen Schiilern begrfindeten Theorie viele Satze
den Cha- rakter reiner Existenzaussagen hatten, gelang es mit Hilfe
der Kern- funktionen, die klassischen Abbildungsfunktionen explizit
darzustellen und damit ihre effektive Berechnung zu erleichtern. In
frfiheren Darstellungen fiber die Kernfunktionen hat man meist die
Bedeutung der neuen Betrachtungsweise ffir die einzelnen
Disziplinen getrennt herausgestellt. Bei einer so1chen
fibergreifenden TheOl"ie ist es aber auch moglich, von den
allgemeinen Eigenschaften Hilbertscher Funktionenraume mit
Kernfunktion auszugehen. Besonders die um- fassende Arbeit von
ARONSZAJN [1] hat eine so1che Darstellungsweise nahe gelegt. Sie
macht es moglich, Wiederholungen zu vermeiden und allgemeine
Eigenschaften der Kernfunktionen als so1che herauszustellen. Urn
diese Schrift auch fUr Student en der mittleren Semester lesbar zu
machen, beginnen wir mit einem Kapitel fiber die allgemeinen
Hilbertschen Raume. Wir beschranken uns dabei auf den Beweis
so1cher Satze, die ffir die hier behandelte Theorie gebraucht
werden.
Es ist eine alte Weisheit: Wenn man das Werk von Dichtem und Philo
sophen verstehen will, tut man gut, sich fiir ihre Biographie zu
interessieren. Bei den Vertretem der exakten Wissenschaften,
insbesondere bei den Mathe matikem, sucht man kaum nach Beziehungen
zwischen Leben und Werk. Unter den groBen Forschem der Mathematik
gibt es Konservative und Sozialisten, Atheisten und Christen aller
Konfessionen. Es scheint, daB erfolgreiche Arbeit in der
Wissenschaft von den formalen Systemen fur Ver treter aller
Weltanschauungen moglich ist. Wer sich aber eingehender mit den
Wandlungen des mathematischen Den kens beschaftigt, wird - schon
bei den Pythagoreem und bei Platon - Ein wirkungen der
mathematischen Forschung auf weltanschauliche Konzep tionen
erkennen. Noch deutlicher wird dieser Zusammenhang an der Wende zur
modemen Mathematik. Schon die Entdeckung der nichteuklidischen
Geometrie im 19. Jahrhundert hatte zu einer Diskussion tiber die
Grund lagenprobleme der Mathematik geftihrt. Noch starker aber
haben die Anti nomien der Mengenlehre dazu beigetragen, daB vielen
Mathematikem die klassische (von Platon beeinfluBte) Auffassung
tiber das Wesen ihrer Wissenschaft problematisch wurde."
Wer die Grundlagenprobleme der modemen Mathematik verstehen will,
muB sich zuerst mit der Geschichte der Mathematik befassen. Der
Sinn des modemen Formalismus etwa geht einem an den Schwierigkeiten
auf, die der klassischen Konzeption yom Wesen der Mathematik im 19.
Jahr hundert erwuchs. Es ist aber fiir den modemen Mathematiker
nicht so ganz leicht, einen Zugang zur Geschichte seiner
Wissenschaft zu finden. Die meisten Schriften zu diesem Thema sind
um eine umfassende und nichts Wichtiges iibersehende Darstellung
bemiiht. Auf diese Weise nehmen in den diinnen Biichem die
Aufzahlungen von Namen und Jahreszahlen einen relativ breiten Raum
ein. Aber auch in den weiter angelegten Schriften kann iiber die
Leistungen der einzelnen Forscher immer nur einigermaBen summarisch
berichtet werden. Es erscheint deshalb der Versuch berechtigt, die
gewiB wichtigen und unentbehrlichen Gesamtdarstellungen (einer
Zeit, einer Personlichkeit) durch einen andersartigen Zugang zur
Geschichte der Mathematik zu erganzen. Wir verzichten ausdriicklich
auf Vollstandigkeit und wollen versuchen, an einzelnen
ausfiihrlicher dargestellten Exempeln die Denk weise der
Mathematiker vergangener Jahrhunderte lebendig werden zu lassen."
Im Jahrhundert der Naturwissenschaften wachst der Anwendungsbereich
mathematischer Methoden standig. In den letzten Jahrzehnten haben
die 50= ziologen, die Psychologen und jungere Vertreter der
Erziehungswissenschaft begonnen, die "Wissenschaft von den formalen
Systemen" in ihren Diszi= plinen anzuwenden. Unter diesen Umstanden
ist die Frage berechtigt, wie denn die intensive Beschaftigung mit
der Mathematik die Denkweise des Menschen verandert. Man weiss: Der
mathematische Unterricht schult die "raumliche Anschauung" und die
Fahigkeit zu logischem Denken. Aber die moderne Mathematik hat
Moglichkeiten der Menschenbildung aufzuweisen, die sie in einem
ganz neuen Sinne zum "Wecker der Erkenntnis" macht, anders noch als
in den Tagen Platons. Davon soll in dieser Schrift die Rede sein.
Vieles, was uber die moderne Mathematik zu sagen ist, gilt auch fur
die exakten Naturwissenschaften. Wir werden deshalb (z. B. in dem
Kapitel uber die Objektivitat) auch auf diese Bezuge eingehen. Die
Frage nach der Menschenbildung durch die Mathematik ist nicht nur
fur Lehrer an Schulen und Hochschulen bedeutsam. Sie geht auch
Padagogen und Soziologen an. Wir haben versucht, unsere Darstellung
auch fur Nicht. mathematiker verstandlich zu machen. Naturlich
mussten wir immer wieder Beispiele bringen, um die Moglichkeiten
des Unterrichts an Schule und Uni= versitat zu verdeutlichen. Wer
von den geisteswissenschaftlichen Lesern hier nicht folgen kann,
mag diese Seiten uberschlagen. Die manchen Zeitgenossen so
unheimlichen mathematischen Formeln sind ja durch die Art der
benutz= ten Typen und den Schriftsatz schon von weitem erkennbar."
In einer Zeit, in der die mathematische Forschung standig neue
Theorien entwickelt, erscheint der Hinweis nicht iiberfliissig, daB
es auch am Rande der elementaren Geometrie noch ungeloste Probleme
gibt. Wir denken dabei vor allem an solche Fragestellungen, die so
einfach sind, daB sie auch einem interessierten Laien verstandlich
gemacht werden konnen. Freilich, so ganz einfach sind nur die
Fragestellungen. Die Losungsversuche, die gemacht worden sind, die
Beweise, die in die Nahe der gestellten Probleme fUhren, erfordern
zum Verstandnis doch einiges an mathematischer Bildung, etwa so
viel, wie man bei einem Studenten der mittleren Semester
voraussetzen darf. Bei einigen beriihmten Problemen, die die
Mathematiker jahrtausende lang beschaftigten, hat die Forschung in
den letzten Jahrzehnten zu der Einsicht gefiihrt, daB sie unlosbar
sind. Wir wollen auch einige solcher Fragestellungen in unsere
Betrachtung einschlieBen. So stehen uralte klassische Probleme
neben solchen, die bisher in der Buchliteratur gar nicht oder nur
am Rand erwahnt wurden. Wir haben uns bemiiht, auch bei den
klassischen Pro blemen bekannte Methoden zu variieren oder die
Fragestellung nach der einen oder andern Seite zu erweitern."
Diese Schrift ist aus Vorlesungen entstanden, die fur einen weiten
Kreis von Studierenden bestimmt waren. Nicht nur die Mathematiker
sollten einen uberblick bekommen uber die Fulle der Probleme, die
die mathe= matische Grundlagenforschung stellt. Es sollte versucht
werden, im Rahmen des "studium generale" das Verstandnis fur die
"mathematische Denkweise" bei Studierenden anderer Fachrichtungen
zu wecken. Und so soll auch in diesem Buch eine Sprache gesprochen
werden, die interessierten Nichtmathematikern verstandlich sein
kann. Freilich - da unsere Aufgabe uns von der Ideenwelt Platons
und den Beweisen Euklids bis an die modernen Entscheidungsprobleme
fuhrt, muss schon mit der Bereitschaft des Lesers gerechnet werden,
ernsthaft mitzudenken und vielleicht auch hier und da etwas
verschuttetes Schulwissen auszugraben. Mathematiker konnen durch
diese Schrift angeregt werden, sich mit den philosophischen Fragen
zu befassen, die am Rande ihrer Arbeit immer wieder auftauchen. Der
kurze uberblick uber die Grundlagenprobleme kann naturlich dem
Fachmann dieses Gebietes nichts Neues bringen. Vielleicht ist es
aber doch den Studenten des ersten Semesters willkommen oder auch
solchen Mathematikern, die ihr Studium vor langerer Zeit
abgeschlossen haben. Die in eckigen Klammern gegebenen Zahlen
verweisen auf das nach Kapiteln geordnete Literaturverzeichnis am
Schluss des Buches, das zu weiterer und eindringenderer Arbeit an
den Grundlagenproblemen an= regen soll. Herrn Prof. Dr. Sprague
mochte ich fur seine wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des
Manuskriptes danken, unserm Assistenten Herrn Michael Dorr fur die
Anfertigung des Registers und der Zeichnungen."
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