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In recent years important progress has been made in the study of
semi-groups of operators from the viewpoint of approximation
theory. These advances have primarily been achieved by introducing
the theory of intermediate spaces. The applications of the theory
not only permit integration of a series of diverse questions from
many domains of mathematical analysis but also lead to significant
new results on classical approximation theory, on the initial and
boundary behavior of solutions of partial differential equations,
and on the theory of singular integrals. The aim of this book is to
present a systematic treatment of semi groups of bounded linear
operators on Banach spaces and their connec tions with
approximation theoretical questions in a more classical setting as
well as within the setting of the theory of intermediate spaces.
However, no attempt is made to present an exhaustive account of the
theory of semi-groups of operators per se, which is the central
theme of the monumental treatise by HILLE and PHILLIPS (1957).
Neither has it been attempted to give an account of the theory of
approximation as such. A number of excellent books on various
aspects of the latter theory has appeared in recent years, so for
example CHENEY (1966), DAVIS (1963), LORENTZ (1966), MEINARDUS
(1964), RICE (1964), SARD (1963). By contrast, the present book is
primarily concerned with those aspects of semi-group theory that
are connected in some way or other with approximation."
In der klassischen Theorie der besten Approximation von stetigen
periodischen Funktionen durch trigonometrische Polynome spielen die
"direkten Satze" von D. Jackson und die "Umkehrsatze" von s.
Bernstein eine fundamentale Rolle. Ein Hauptanliegen der
vorliegenden Abhandlung ist es, sich von den trigonometrischen
Polynomen bester Approxima- tion loszuloesen und enteprechende
Satze uber Folgen von beschrankten linearen Transformationen, wie
z. B. Summations- prozessen von Fourierreihen, zu beweisen, die
gewisse Be- dingungen erfullen. Diese Bedingungen sollen
sicherstellen, dass das Phanomen der Saturation, welches bei allen
gan- gen Prozessen gegeben ist, auftritt. Die Behandlung selbst
erfolgt im abstrakten Rahmen der Theorie der Banachraume. Damit
gelangt der Verfasser zu einem zentralen Problem, das letztlich
darin besteht, den fundamentalen Satz, von Banach-Steinhaus uber
Folgen von beschrankten linearen Operatoren, und zwar die Aussage
uber notwendige und hin- reichende Bedingungen fur die Konvergenz
dieser Folgen gegen den Identitatsoperator, so zu verscharfen, dass
er eine Aussage uber die Konvergenzgeschwindigkeit liefert. Dieses
grundlegende Problem ist schon seit m hreren Jah- ren in der
Diskussion und wird vom Verfasser dahingehend behandelt, dass er in
Banachunterraumen arbeitet, die sich als Interpolationsraume
charakterisieren lassen.
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