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Die Theorie der Kategorien hat sich rasch entwickelt. Die Begriffe
und Methoden, de- ren Behandlung sich das vorliegende Buch zum Ziel
setzt, lassen sich jetzt nutzbringend von Mathematikern anwenden,
die auf verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik forschen. Die
Darstellung erfolgt in mehreren Stufen. Auf der ersten Stufe
liefern Ka- tegorien eine brauchbare Begriffssprache, der die
Begriffe "Kategorie", "Funktor", "nattirliche Transformation",
"Kontravarianz" und "Funktorkategorie" zugrunde liegen; sie werden
- zusammen mit geeigneten Beispielen - in den Kapiteln I und II
behandelt. Der fundament ale Begriff eines Paares adjungierter
Funktoren schlieBt sich an, der in vielen, im wesentlichen einander
gleichwertigen Formen auftritt: als universelle Kon- struktion, als
Limes und Colimes sowie als Paar von Funktoren - zusammen mit einem
nattirlichen Isomorphismus zwischen entsprechenden Pfeilmengen.
AIle diese Formen und ihre wechselseitigen Beziehungen werden in
den Kapiteln III - V untersucht. Man konnte sagen: "Adjungierte
Funktoren treten tiberall auf". Der fundamentale Begriff in der
Theorie der Kategorien ist derjenige eines Monoids, d. h. einer
Menge mit einer zweistelligen Verkntipfung (Multiplikation), die
assoziativ ist und eine Einheit besitzt. Eine Kategorie selbst HiBt
sich als eine Art verallgemei- nertes Monoid auffassen. In den
Kapiteln VI und VII werden dieser Begriff und seine
Verallgemeinerungen studiert; seine enge Beziehung zu Paaren
adjungierter Funktoren erhellt die Begriffsbildungen der
universellen Algebra und gipfelt im Satz von Beck, der Kategorien
von Algebren charakterisiert.
Dieses Buch behandelt hauptsachlich zwei Themenkreise: Der
Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel fur Existenzbeweise sowie
Die "Dualitat" zwischen Mass und Kategorie. Die Kategorie-Methode
wird durch viele typische Anwendungen erlautert; die Analogie, die
zwischen Mass und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten
Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine
kurze Einfuhrung in die Grundlagen der metrischen Topologie;
ausserdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen
Masses hergeleitet. Es zeigt sich, dass die Lebesguesche
Integrationstheorie fur unsere Zwecke nicht erforderlich ist,
sondern dass das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden
einige Begriffe aus der allgemeinen Masstheorie und Topologie
eingefuhrt; dies geschieht jedoch nicht nur der grosseren
Allgemeinheit wegen. Es erubrigt sich fast zu erwahnen, dass sich
die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be
zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra
verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich
grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse
Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Fur die hier
untersuchten Probleme bietet sich in naturlicher Weise die
mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als
Einfuhrung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man konnte es als
Erganzung zur ublichen Grundvorlesung uber reelle Analysis, als
Grundlage fur ein Se minar oder auch zum selbstandigen Studium
verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine
zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige
Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und
Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf
Vollstandigkeit. Haufig werden Werke zitiert, die weitere
Literaturangaben enthalten."
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