Die Theorie der Kategorien hat sich rasch entwickelt. Die Begriffe und Methoden, de- ren Behandlung sich das vorliegende Buch zum Ziel setzt, lassen sich jetzt nutzbringend von Mathematikern anwenden, die auf verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik forschen. Die Darstellung erfolgt in mehreren Stufen. Auf der ersten Stufe liefern Ka- tegorien eine brauchbare Begriffssprache, der die Begriffe "Kategorie", "Funktor", "nattirliche Transformation", "Kontravarianz" und "Funktorkategorie" zugrunde liegen; sie werden - zusammen mit geeigneten Beispielen - in den Kapiteln I und II behandelt. Der fundament ale Begriff eines Paares adjungierter Funktoren schlieBt sich an, der in vielen, im wesentlichen einander gleichwertigen Formen auftritt: als universelle Kon- struktion, als Limes und Colimes sowie als Paar von Funktoren - zusammen mit einem nattirlichen Isomorphismus zwischen entsprechenden Pfeilmengen. AIle diese Formen und ihre wechselseitigen Beziehungen werden in den Kapiteln III - V untersucht. Man konnte sagen: "Adjungierte Funktoren treten tiberall auf". Der fundamentale Begriff in der Theorie der Kategorien ist derjenige eines Monoids, d. h. einer Menge mit einer zweistelligen Verkntipfung (Multiplikation), die assoziativ ist und eine Einheit besitzt. Eine Kategorie selbst HiBt sich als eine Art verallgemei- nertes Monoid auffassen. In den Kapiteln VI und VII werden dieser Begriff und seine Verallgemeinerungen studiert; seine enge Beziehung zu Paaren adjungierter Funktoren erhellt die Begriffsbildungen der universellen Algebra und gipfelt im Satz von Beck, der Kategorien von Algebren charakterisiert.

Dieses Buch behandelt hauptsachlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel fur Existenzbeweise sowie Die "Dualitat" zwischen Mass und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erlautert; die Analogie, die zwischen Mass und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einfuhrung in die Grundlagen der metrischen Topologie; ausserdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Masses hergeleitet. Es zeigt sich, dass die Lebesguesche Integrationstheorie fur unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern dass das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Masstheorie und Topologie eingefuhrt; dies geschieht jedoch nicht nur der grosseren Allgemeinheit wegen. Es erubrigt sich fast zu erwahnen, dass sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Fur die hier untersuchten Probleme bietet sich in naturlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einfuhrung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man konnte es als Erganzung zur ublichen Grundvorlesung uber reelle Analysis, als Grundlage fur ein Se minar oder auch zum selbstandigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. Haufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten."