The problem of approximating a given quantity is one of the oldest challenges faced by mathematicians. Its increasing importance in contemporary mathematics has created an entirely new area known as Approximation Theory. The modern theory was initially developed along two divergent schools of thought: the Eastern or Russian group, employing almost exclusively algebraic methods, was headed by Chebyshev together with his coterie at the Saint Petersburg Mathematical School, while the Western mathematicians, adopting a more analytical approach, included Weierstrass, Hilbert, Klein, and others.

This work traces the history of approximation theory from Leonhard Euler's cartographic investigations at the end of the 18th century to the early 20th century contributions of Sergei Bernstein in defining a new branch of function theory. One of the key strengths of this book is the narrative itself. The author combines a mathematical analysis of the subject with an engaging discussion of the differing philosophical underpinnings in approach as demonstrated by the various mathematicians. This exciting exposition integrates history, philosophy, and mathematics. While demonstrating excellent technical control of the underlying mathematics, the work is focused on essential results for the development of the theory.

The exposition begins with a history of the forerunners of modern approximation theory, i.e., Euler, Laplace, and Fourier. The treatment then shifts to Chebyshev, his overall philosophy of mathematics, and the Saint Petersburg Mathematical School, stressing in particular the roles played by Zolotarev and the Markov brothers. A philosophical dialectic then unfolds, contrastingEast vs. West, detailing the work of Weierstrass as well as that of the Goettingen school led by Hilbert and Klein. The final chapter emphasizes the important work of the Russian Jewish mathematician Sergei Bernstein, whose constructive proof of the Weierstrass theorem and extension of Chebyshev's work serve to unify East and West in their approaches to approximation theory.

Appendices containing biographical data on numerous eminent mathematicians, explanations of Russian nomenclature and academic degrees, and an excellent index round out the presentation.

Diplomarbeit aus dem Jahr 1994 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,3, Johann Wolfgang Goethe-Universitat Frankfurt am Main (Fachbereich Mathematik), Sprache: Deutsch, Anmerkungen: Die Arbeit beschreibt einen der wichtigsten Satze der uniformen Approximationstheorie, den Alternantensatz von einer historischen Perspektive aus. Neben drei klassischen und einem neuen Beweis werden Vorlauferarbeiten von Euler, Laplace und Poncelet prasentiert und analysiert. Ebenso wird auf die Arbeiten der St. Petersburger Mathematischen Schule des spaten 19. Jahrhunderts eingegangen (Chebyshev, Zolotarev, A. und V. Markov). Die erste Formulierung des Satzes und die folgenden Beweisversuche werden analysiert. Die Arbeit schildert sehr anschaulich, welche Muhen notig waren, um eine wichtige Saule der fur die Entwicklung der Computertechnik so wichtigen Approximationstheorie fertig zu stellen., Abstract: Wenn wir uns die Aufgabe stellen, ein Bogenstuck durch ein Geradenstuck so anzunahern, dass der unterschied zwischen beiden Linien moglichst klein wird, so werden wir die Gerade immer so zu legen versuchen, dass sowohl rechts als auch links von ihr die maximale Abweichung gleich wird. Beispielsweise kame niemand auf die Edee, den Halbkreis durch eine Linie anzunahern, die genau dem Durchmesser entlanglauft. Vielmehr wird man hier die Gerade in die Mitte zu legen versuchen. Genau diese Idee verwendet Euler, um eine moglichst genaue Karte des russischen Reiches zu zeichnen: Er nahert die Erdkugel so durch eine Ebene an, dass der Fehler am nordlichsten Punkt, am sudlichsten Punkt und "irgendwo in der Mitte" gleich ist. Nun konnte man vermuten, dass sie beste Naherung hier von der Lage dieses Punktes abhangt, jedoch nach dem Alternantensatz hangt vielmehr der Punkt von der Grosse des minimale maximalen Fehlers ab, bzw. beide Werte korrespondieren miteinander. Der Satz, von dem in dieser Arbeit die Rede sein wird, verallgemeinert dieses im Falle von Gerade und Bogen noch sehr