The last book XIII of Euclid's Elements deals with the regular solids which therefore are sometimes considered as crown of classical geometry. More than two thousand years later around 1850 Schl fli extended the classification of regular solids to four and more dimensions. A few decades later, thanks to the invention of group and invariant theory the old three dimensional regular solid were involved in the development of new mathematical ideas: F. Klein (Lectures on the Icosa hedron and the Resolution of Equations of Degree Five, 1884) emphasized the relation of the regular solids to the finite rotation groups. He introduced complex coordinates and by means of invariant theory associated polynomial equations with these groups. These equations in turn describe isolated singularities of complex surfaces. The structure of the singularities is investigated by methods of commutative algebra, algebraic and complex analytic geometry, differential and algebraic topology. A paper by DuVal from 1934 (see the References), in which resolutions play an important rele, marked an early stage of these investigations. Around 1970 Klein's polynomials were again related to new mathematical ideas: V. I. Arnold established a hierarchy of critical points of functions in several variables according to growing com plexity. In this hierarchy Kleinls polynomials describe the "simple" critical points."

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die man heute groesstenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi- simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singularen Homologietheorie gepragt. Seine Nutzlichkeit fur die alge- braische Topologie, und zwar nicht nur fur die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so algebraisch, dass man direkt Homologie-und Homotopiegruppen fur sie definieren und allgemeine Zusammenhange zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstuck. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschrankt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo- logischen Raume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen uber- fuhrt. Semisimpliziale algebraische Topologie bedeutet am Beispiel der singularen Homologietheorie: Man ordnet dem Raum X seine semi- simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singulare Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singularen Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.

Die Theorie Riemannscher Flachen wird als ein Mikrokosmos der Reinen Mathematik dargestellt, in dem Methoden der Topologie und Geometrie, der komplexen und reellen Analysis sowie der Algebra zusammenwirken, um die reichhaltige Struktur dieser Flachen aufzuklaren. Viele Beispiele und Bilder, die in der historischen Entwicklung eine Rolle spielten, erganzen die Darstellung. Das Buch beruht auf Vorlesungen und Seminaren im Anschluss an eine Einfuhrung in die komplexe Funktionentheorie. Wegen seiner Methodenvielfalt enthalt es gleichzeitig Einfuhrungen in die Topologie (Fundamentalgruppe, Uberlagerungen, Flachen), in die algebraische Geometrie (Kurven und ihre Singularitaten) und in die Potentialtheorie (harmonische Funktionen).

Die 2. Auflage wurde um eine genauere Betrachtung des Kleinschen 14-Ecks, ein Kapitel uber die de Rhamsche Cohomologie und einen Paragraphen uber die Losung nicht-linearer Gleichungen der Mathematischen Physik mittels Riemannscher Thetafunktionen erganzt.

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Die Schwierigkeit Mathematik zu lernen und zu lehren ist jedem bekannt, der einmal mit diesem Fach in Beruhrung gekommen ist. Begriffe wie "reelle oder komplexe Zahlen, Pi" sind zwar jedem gelaufig, aber nur wenige wissen, was sich wirklich dahinter verbirgt. Die Autoren dieses Bandes geben jedem, der mehr wissen will als nur die Hulle der Begriffe, eine meisterhafte Einfuhrung in die Magie der Mathematik und schlagen einzigartige Brucken fur Studenten.

Die Rezensenten der ersten beiden Auflagen uberschlugen sich."