Discrete stochastics is the theory of discrete probability spaces. This undergraduate textbook gives a concise introduction into discrete stochastics in general, and into a variety of typical special topics in this field, such as information theory, fluctuation theory, and semigroups of stochastic matrices. The emphasis lies on probability theory rather than on statistical methodology. Motivations, interpretations, and numerous examples and exercises relate the mathematical theory to stochastic experience.

Based on a well-received course designed for philosophy students, this book is an informal introduction to mathematical thinking. The work will be rewarding not only for philosophers concerned with mathematical questions but also for serious amateur mathematicians with an interest in the "frontiers" as well as the foundations of mathematics. In what might be termed a sampler of the discipline, Konrad Jacobs discusses an unusually wide range of topics, including such items of contemporary interest as knot theory, optimization theory, and dynamical systems. Using Euclidean geometry and algebra to introduce the mathematical mode of thought, the author then turns to recent developments. In the process he offers what he calls a "Smithsonian of mathematical showpieces": the five Platonic Solids, the Mbius Strip, the Cantor Discontinuum, the Peano Curve, Reidemeister's Knot Table, the plane ornaments, Alexander's Horned Sphere, and Antoine's Necklace. The treatments of geometry and algebra are followed by a chapter on induction and one on optimization, game theory, and mathematical economics. The chapter on topology includes a discussion of topological spaces and continuous mappings, curves and knots, Euler's polyhedral formula for surfaces, and the fundamental group. The last chapter deals with dynamics and contains material on the Game of Life, circle rotation, Smale's "horseshoe," and stability and instability, among other topics.

Ziel des Buches ist eine elementare EinfA1/4hrung in ausgewAhlte Teile der Kombinatorik. Dabei werden zusAtzlich zur Darstellung der Grundlagen in jedem Kapitel exemplarisch einige tiefer liegende Resultate vollstAndig bewiesen. Das Buch will dem interessierten Nichtspezialisten den Reiz der Kombinatorik nahe bringen, ohne eine systematische Theorie zu entwickeln. Zwar wendet es sich ausdrA1/4cklich nicht an den professionellen Kombinatoriker, vermittelt aber dennoch einen angemessenen Eindruck der auftretenden Methoden.

Dies Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich blsher zweimal unter dem Titel "Mathematik fur Philosophen" gehalten habe. AuBerdem sind Erfahrungen eingeflossen, die ich bei einem Volkshochschulkurs ftir Nichtmathematiker, bei Fortbildungsveranstaltungen fur Gymnasial- lehrer und bei der Abfassung von Uberblicksartikeln, z.B. fur die Zeitschrift "Die Naturwissen- schaften", sammeln konnte. Mit den vorgesehenen beiden Banden verfolge ich vor allem das Ziel, Nichtmathematikern mit einer ungefahr dem Abltur entsprechenden Mindest-Allgemeinbildung, msbesondere also auch Studienanfangern, ein moghchst deutl!ches Bild von der MathematIk in ihrem gegenwartigen Zustand zu vermitteln. Ganz lelse hege ich die Hoffnung, dieser Text moge auch Mathematikern in mittleren und hoheren Semestern sowie Gymnasiallehrern vom Fach dazu dienen konnen, ihre ohnehin entstehenden oder schon entstandenen Vorstellungen von der Mathematik zu uberpriifen, zu gestalten, zu erganzen. Vielleicht wird auch ein Dozent den einen oder anderen Literaturhinweis oder gewisse Arten der Darstellung als Anregung verwerten konnen. Angesichts so1cher ZIe1setzungen muBte ich mich bei der Abfassung der beiden Bande nattirlich dauernd mit den Grundsatzfragen Was soll ich erzahlen? Wie soll ich's erziihlen? auseinandersetzen. Diese Fragen stellt man sichja auch im Umgang mit den eigenen Fachgenossen.

Seit dem Erscheinen des berfihmten Ergebnisberichts von E. HOPF [9] (1937) ist eine umfangreiche Literatur fiber ergodentheoretische Fragen entstanden. Die vorliegende Arbeit ist ein Versuch, in diese Literatur ein- zuffihren und die wesentlichsten Ergebnisse geschlossen darzustellen. Zusammenfassende Darstellungen einzelner Fragenkreise sind bereits frfiher in den Arbeiten von DUNFORD-SCHWARTZ [1], HALMOS [9], [to], KAKUTANI [11] und OXTOBY [3], [4] gegeben worden. Ichhabe michstark auf sie gestfitzt. Als Einffihrung und Uberblick ist das reizvolle Bfichlein von HALMOS [to] sehr zu empfehlen. Bei der Sichtung des Materials schien es mir zweckmaBig, zwei Teil- gebiete von vornherein auszuscheiden: 1. Die rein topologischen Unter- suchungen; sie sind in dem Buch von GOTTSCHALK-HEDLUND [3] syste- matisch entwickelt; ich habe lediglich in Kap. 5 1 eine kleine Kostprobe eingeffigt. 2. Die Untersuchungen fiber geodatische Stromungen; hieruber gibt es systematische Darstellungen bei HOPF [9], [to] und GOTTSCHALK- HEDLUND [3]. Das Literaturverzeichnis umfaBt gleichwohl auch diese beiden Disziplinen; ich habe versucht, es so vollstandig wie moglich zu machen. Es enthalt daher auch Arbeiten, die im Text nicht zitiert werden. - Ferner habe ich alle spektral-theoretischen Untersuchungen beiseitegelassen (vgl. HOPF [9], auch HALMOS [to]) undstattdessen Unter- suchungen fiber Fastperiodizitat ausfUhrlicher behandelt (Kap. 1, 6 und 7). - DooB [9] und KAKUTANI [11] haben Analogien zwischen dem individuellen Ergodensatz und dem bekannten Satz fiber die Fastfiberall- konvergenz von Martingalen hervorgehoben. In Kap.

Discrete stochastics is the theory of discrete probability spaces. This undergraduate textbook gives a concise introduction into discrete stochastics in general, and into a variety of typical special topics in this field, such as information theory, fluctuation theory, and semigroups of stochastic matrices. The emphasis lies on probability theory rather than on statistical methodology. Motivations, interpretations, and numerous examples and exercises relate the mathematical theory to stochastic experience.