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Discrete stochastics is the theory of discrete probability
spaces. This undergraduate textbook gives a concise introduction
into discrete stochastics in general, and into a variety of typical
special topics in this field, such as information theory,
fluctuation theory, and semigroups of stochastic matrices. The
emphasis lies on probability theory rather than on statistical
methodology. Motivations, interpretations, and numerous examples
and exercises relate the mathematical theory to stochastic
experience.
Based on a well-received course designed for philosophy
students, this book is an informal introduction to mathematical
thinking. The work will be rewarding not only for philosophers
concerned with mathematical questions but also for serious amateur
mathematicians with an interest in the "frontiers" as well as the
foundations of mathematics. In what might be termed a sampler of
the discipline, Konrad Jacobs discusses an unusually wide range of
topics, including such items of contemporary interest as knot
theory, optimization theory, and dynamical systems. Using Euclidean
geometry and algebra to introduce the mathematical mode of thought,
the author then turns to recent developments. In the process he
offers what he calls a "Smithsonian of mathematical showpieces":
the five Platonic Solids, the Mbius Strip, the Cantor Discontinuum,
the Peano Curve, Reidemeister's Knot Table, the plane ornaments,
Alexander's Horned Sphere, and Antoine's Necklace. The treatments
of geometry and algebra are followed by a chapter on induction and
one on optimization, game theory, and mathematical economics. The
chapter on topology includes a discussion of topological spaces and
continuous mappings, curves and knots, Euler's polyhedral formula
for surfaces, and the fundamental group. The last chapter deals
with dynamics and contains material on the Game of Life, circle
rotation, Smale's "horseshoe," and stability and instability, among
other topics.
Ziel des Buches ist eine elementare EinfA1/4hrung in ausgewAhlte
Teile der Kombinatorik. Dabei werden zusAtzlich zur Darstellung der
Grundlagen in jedem Kapitel exemplarisch einige tiefer liegende
Resultate vollstAndig bewiesen. Das Buch will dem interessierten
Nichtspezialisten den Reiz der Kombinatorik nahe bringen, ohne eine
systematische Theorie zu entwickeln. Zwar wendet es sich
ausdrA1/4cklich nicht an den professionellen Kombinatoriker,
vermittelt aber dennoch einen angemessenen Eindruck der
auftretenden Methoden.
Dies Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich blsher
zweimal unter dem Titel "Mathematik fur Philosophen" gehalten habe.
AuBerdem sind Erfahrungen eingeflossen, die ich bei einem
Volkshochschulkurs ftir Nichtmathematiker, bei
Fortbildungsveranstaltungen fur Gymnasial- lehrer und bei der
Abfassung von Uberblicksartikeln, z.B. fur die Zeitschrift "Die
Naturwissen- schaften", sammeln konnte. Mit den vorgesehenen beiden
Banden verfolge ich vor allem das Ziel, Nichtmathematikern mit
einer ungefahr dem Abltur entsprechenden Mindest-Allgemeinbildung,
msbesondere also auch Studienanfangern, ein moghchst deutl!ches
Bild von der MathematIk in ihrem gegenwartigen Zustand zu
vermitteln. Ganz lelse hege ich die Hoffnung, dieser Text moge auch
Mathematikern in mittleren und hoheren Semestern sowie
Gymnasiallehrern vom Fach dazu dienen konnen, ihre ohnehin
entstehenden oder schon entstandenen Vorstellungen von der
Mathematik zu uberpriifen, zu gestalten, zu erganzen. Vielleicht
wird auch ein Dozent den einen oder anderen Literaturhinweis oder
gewisse Arten der Darstellung als Anregung verwerten konnen.
Angesichts so1cher ZIe1setzungen muBte ich mich bei der Abfassung
der beiden Bande nattirlich dauernd mit den Grundsatzfragen Was
soll ich erzahlen? Wie soll ich's erziihlen? auseinandersetzen.
Diese Fragen stellt man sichja auch im Umgang mit den eigenen
Fachgenossen.
Seit dem Erscheinen des berfihmten Ergebnisberichts von E. HOPF [9]
(1937) ist eine umfangreiche Literatur fiber ergodentheoretische
Fragen entstanden. Die vorliegende Arbeit ist ein Versuch, in diese
Literatur ein- zuffihren und die wesentlichsten Ergebnisse
geschlossen darzustellen. Zusammenfassende Darstellungen einzelner
Fragenkreise sind bereits frfiher in den Arbeiten von
DUNFORD-SCHWARTZ [1], HALMOS [9], [to], KAKUTANI [11] und OXTOBY
[3], [4] gegeben worden. Ichhabe michstark auf sie gestfitzt. Als
Einffihrung und Uberblick ist das reizvolle Bfichlein von HALMOS
[to] sehr zu empfehlen. Bei der Sichtung des Materials schien es
mir zweckmaBig, zwei Teil- gebiete von vornherein auszuscheiden: 1.
Die rein topologischen Unter- suchungen; sie sind in dem Buch von
GOTTSCHALK-HEDLUND [3] syste- matisch entwickelt; ich habe
lediglich in Kap. 5 1 eine kleine Kostprobe eingeffigt. 2. Die
Untersuchungen fiber geodatische Stromungen; hieruber gibt es
systematische Darstellungen bei HOPF [9], [to] und GOTTSCHALK-
HEDLUND [3]. Das Literaturverzeichnis umfaBt gleichwohl auch diese
beiden Disziplinen; ich habe versucht, es so vollstandig wie
moglich zu machen. Es enthalt daher auch Arbeiten, die im Text
nicht zitiert werden. - Ferner habe ich alle spektral-theoretischen
Untersuchungen beiseitegelassen (vgl. HOPF [9], auch HALMOS [to])
undstattdessen Unter- suchungen fiber Fastperiodizitat
ausfUhrlicher behandelt (Kap. 1, 6 und 7). - DooB [9] und KAKUTANI
[11] haben Analogien zwischen dem individuellen Ergodensatz und dem
bekannten Satz fiber die Fastfiberall- konvergenz von Martingalen
hervorgehoben. In Kap.
Discrete stochastics is the theory of discrete probability
spaces. This undergraduate textbook gives a concise introduction
into discrete stochastics in general, and into a variety of typical
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