The theory of Markov chains, although a special case of Markov processes, is here developed for its own sake and presented on its own merits. In general, the hypothesis of a denumerable state space, which is the defining hypothesis of what we call a "chain" here, generates more clear-cut questions and demands more precise and definitive an swers. For example, the principal limit theorem ( 1. 6, II. 10), still the object of research for general Markov processes, is here in its neat final form; and the strong Markov property ( 11. 9) is here always applicable. While probability theory has advanced far enough that a degree of sophistication is needed even in the limited context of this book, it is still possible here to keep the proportion of definitions to theorems relatively low. . From the standpoint of the general theory of stochastic processes, a continuous parameter Markov chain appears to be the first essentially discontinuous process that has been studied in some detail. It is common that the sample functions of such a chain have discontinuities worse than jumps, and these baser discontinuities play a central role in the theory, of which the mystery remains to be completely unraveled. In this connection the basic concepts of separability and measurability, which are usually applied only at an early stage of the discussion to establish a certain smoothness of the sample functions, are here applied constantly as indispensable tools.

Das Buch enthalt ausgewahIte Kapitel aus der Festigkeitslehre. "Neuere Festigkeitsprobleme des Ingenieurs" war der Titel einer Vor- tragsreihe, die im Winter 1941 vor Ingenieuren der groBen Berliner Betriebe gehalten wurde; das Wort neuere sollte dabei andeuten, daB es sich zum groBen Teil urn Dinge handeIt, die, obwohl der Wissen- schaft seit langerer Zeit gelaufig, noch nicht Allgemeingut der In- genieurweIt sind. Das lebhafte Interesse, das damals der Voxtragsreihe entgegen- gebracht wurde, hatte die Vortragenden ermutigt, eine Buchausgabe der Vortrage unter demselben Titel zu planen. Leider wurde die Druck- legung durch den Berg von Genehmigungen, durch die man sich in den letzten Kriegsjahren durchfressen muBte, so lange verzogert, daB der Satz gerade kurz vox dem AbschluB stand, als die Druckerei im Jahre 1944 einem Bombenangriff zum Opfer fiel. Da durch die Kriegs- ereignisse auch einige der Manuskripte verlorengegangen waren, muBte, als die Moglichkeit neuerlichen Druckens nach dem Kriege wieder auf- tauchte, mit einem _"Neubau" begonnen werden, dessen Fertigstellung viel Zeit gekostet hat.

Diese.s Lehrbuch schlie13t sich zwei Vorbildern an, namlich an K. F. Gau13 und an E. Cartan. Wie bei Gau13 werden die inneren EigenS

In einem vor dem Mathematischen Reichsverband in Dlisseldorf 1926 gehaltenen Vortrag! entwickelte OTTO TOEPLITZ seine Ideen uber eine neue Methode, die bekannten Schwierigkeiten der Vorlesung uber Infini- tesimalrechnung zu uberwinden. Er nennt seine Methode die genetische. Ich fuhre seine eigenen Worte an: "Ich sagte mir: alle diese Gegen- stande der Infinitesimalrechnung, die heute als kanonisierte Requisiten gelehrt werden, der Mittelwertsatz, die Taylorsche R, eihe, der Konver- genzbegriff, das bestimmte Integral, vor allem der Differentialquotient selbst, und bei denen nirgends die Frage beruhrt wird: warum so? wie kommt man zu ihnep ? alle diese Requisiten also mussen doch ein- mal Objekte eines spannenden Suchens, einer aufregenden Handlung gewesen sein, namlich damals, als sie geschaffen wurden. Wenn man an diese Wurzeln der Begriffe zuruckginge, wurde der Staub der Zeiten, die Schrammen langer Abnutzung von ihnen abfallen, und sie wurden wieder als lebensvolle Wesen vor uns erstehen. " Er will dem jungen Studenten, der wissen moechte, inwiefern die Mathematik spannend, inwiefern sie schoen ist, die Entdeckungen in ihrer ganzen Dramatik vorfuhren und so die Fragestellungen, Begriffe und- Tatsachen vor ihm entstehen lassen. Er moechte seine Methode nicht als eine historische Methode bezeichnet wissen. "Der Historiker, auch der der Mathematik, hat die Aufgabe, alles Gewesene zu registrie- ren, ob es gut war oder schlecht. Ich will aus der Historie nur die Motive fur die Dinge, die sich hernach bewahrt haben, herausgreifen und will sie direkt oder indirekt verwerten.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Die Entwicklung der Ozeanographie ist dank der Fortschritte meeres kundlicher Messungen und der Bearbeitungsmethoden ozeanographi schen Beobachtungsmaterials bei jenem wichtigen Wendepunkt angelangt, bei dem von der mehr beschreibenden Betrachtungsweise zu einer stren geren Behandlung gesetzlicher Erscheinungen ubergegangen werden kann. Die Ozeanographie folgt in dieser fortschreitenden Entwicklung immer mehr ihrer Schwesterdisziplin, der Meteorologie, die diesen Ubergang bei der Behandlung einzelner Probleme schon in vielen Fallen erfolg reich durchgefUhrt hat. 1m vorliegenden Buche habe ich versucht, eine Zusammenstellung unserer Kenntnisse der Bewegungserscheinungen im Meere auf theoretisch-physikalischer Grundlage zu geben. Einige Lucken, die sich hierbei ergeben haben, habe ich versucht, auszufUllen. Die Anfiinge zu dieser Arbeit reichen schon in die Zeit zuruck, als ich an der Universitat Innsbruck im Verbande mit anderen geophysikalischen Themen auch tiber Physik des Meeres Vorlesungen hielt. Meine Berufung an das Institut und Museum fUr Meereskunde an der Universitat Berlin, und meine Teilnahme an den letzten Profilen der Deutschen Atlantischen Expedition auf dem Forschungsschiff "Meteor" gaben mir Gelegenheit, mich noch eingehender mit diesen Problem en der Ozeanographie zu be fassen. Letzten Endes waren es die Vortrage, die ich fUr die wissen schaftlichen Teilnehmer und fUr die Offiziere an Bord des "Meteor" hielt, die dazu fUhrten, die hydrodynamischen Grundlagen der ozeanischen Bewegungen durchzuarbeiten und ubersichtlich zusammenzustellen. Diese Vortrage gaben so den Grundstock zu dieser "Dynamischen Ozeanographie.""

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Die folgende zusammenfassende Darstellung der mechanischen Beweise ftir die Bewegung der Erde ist ein etwas erweiterter Abdruck meines Aufsatzes in den Augustheften 1921 der "Naturwissenschaften." Einer Anregung des Herausgebers dieser Zeitschrift, Herrn Dr. A. B erli n er. gerne folgend, habe ich mich zu der vorliegenden umgearbeiteten Ausgabe namentlich des wegen entschlossen, weil ich den Aufsatz auch solchen Lesem zuganglich machen wollte, die nur tiber ganz elementare Kenntnisse in Mechanik und Mathematik ver ftigen. Diese Leser konnen die durch Kleindruck her vorgehobenen Teile ohne Beeintrachtigung des Verstand nisses des Ganzen tibergehen, vorausgesetzt, daB sie die jenigen Behauptungen, deren scharfere Begrtindung in den kleingedruckten Stellen nachgeholt ist, auf Treu und Glauben hinnehmen. Stu t tgar t, im Dezember 1921. R. Grammel. Inhaltsverzeichnis. Seite I Einleitung ............ . I. Begriffliche Grundlagen 2. Mechanische Grundlagen 9 1. Versuche auf Grund des Schwerpunktssatzes 17 A. Nachweis der Azimutaldrehung . . . 17 3. Der wagerechte Wurf . . . . 17 18 4. Das ebene mathematische Pende1 5. Das mathematische Kegelpendel. 26 B. Nachweis der Vertikaldrehung 28 6. Die Wage .... 28 7. Die Drehwage ..... . 30 8. Die gedrehte Wage 31 II. Versuche auf Grund des FHichensatzes . 34 A. Nachweis der Azimutaldrehung 34- 9. Der Isotomeograph 34 10. Ein hydraulischer Versuch 37 B. Nachweis der Vertikaldrehung 0 4 II. Der Wurf ....... . 0 4 12. Der freie Fall'. . . . . 44 13. Die Atwoodsche Fallmaschine . 47 III. Versuche auf Grund des Schwungsatzes 50 A. Nachweis der Azimutaldrehung . 50 Das materielle Pendel .. 14. 50 15. Das Kreiselpendel ...."