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The present book is an introduction to the philosophy of
mathematics. It asks philosophical questions concerning fundamental
concepts, constructions and methods - this is done from the
standpoint of mathematical research and teaching. It looks for
answers both in mathematics and in the philosophy of mathematics
from their beginnings till today. The reference point of the
considerations is the introducing of the reals in the 19th century
that marked an epochal turn in the foundations of mathematics. In
the book problems connected with the concept of a number, with the
infinity, the continuum and the infinitely small, with the
applicability of mathematics as well as with sets, logic,
provability and truth and with the axiomatic approach to
mathematics are considered. In Chapter 6 the meaning of
infinitesimals to mathematics and to the elements of analysis is
presented. The authors of the present book are mathematicians.
Their aim is to introduce mathematicians and teachers of
mathematics as well as students into the philosophy of mathematics.
The book is suitable also for professional philosophers as well as
for students of philosophy, just because it approaches philosophy
from the side of mathematics. The knowledge of mathematics needed
to understand the text is elementary. Reports on historical
conceptions. Thinking about today's mathematical doing and
thinking. Recent developments. Based on the third, revised German
edition. For mathematicians - students, teachers, researchers and
lecturers - and readersinterested in mathematics and philosophy.
Contents On the way to the reals On the history of the philosophy
of mathematics On fundamental questions of the philosophy of
mathematics Sets and set theories Axiomatic approach and logic
Thinking and calculating infinitesimally - First nonstandard steps
Retrospection
Nonstandard fordert Standard heraus. Das war immer so. So ist es
auch in der Analysis.Nonstandardanalysis fordert 100-jahrige
Routinen in den Elementen der Standardanalysis heraus. Wir
entwickeln die Elemente - standard neben nonstandard - aus den
Grundideen, zeigen ihre Anwendungen in vielen Beispielen und
vergleichen beide Ansatze. Wir stellen fest: Nonstandard erweitert
und bereichert Standard. Zentral ist: Grenzprozesse, die
Grundelemente der Standardanalysis, werden nonstandard zu Zahlen
mit einer elementaren, anschaulich begleiteten Arithmetik. Sie
bilden die Basis fur die Bildung der Begriffe in Differential- und
Integralrechnung. In einer Handreichung auf der Webseite
nichtstandard.de stellen wir erprobte Unterrichtsgange vor.
Nonstandard ist mathematisch langst Standard, aber noch selten in
der Lehre und im Unterricht anzutreffen. Dass sich hier etwas
bewegt, dafur ist dieses Lehrbuch geschrieben - fur die Praxis aus
der Praxis. Es berichtet aus dem mathematischen, methodischen und
historischen Hintergrund und wendet sich an Lehrende, Studierende
und alle, die alte Routinen durchschauen und neue Elemente der
Analysis entdecken wollen.
Dieses Buch blickt in eine bedeutende Epoche der Philosophie der
Mathematik zuruck, deren Stroemungen die heutige Gestalt der
Mathematik pragten. In der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert befand
sich die Mathematik in einem fundamentalen Umbruch, der die
Mathematiker dieser Zeit herausforderte. Sie mussten Stellung
beziehen. Die Grundsatze und Wege der philosophischen Richtungen,
die dieses Buch verstandlich, kritisch und anerkennend beschreibt,
wurden von Mathematikern formuliert. Eine Zeit gravierender
Disharmonien begann, die bis in Streit und Feindschaften mundeten
und zugleich faszinierende und fruchtbare Ergebnisse
hervorbrachten, mathematisch wie philosophisch. Es war ein
aufregendes, intellektuelles Abenteuer zu Beginn des 20.
Jahrhunderts auf einem aussergewoehnlich scharfsinnigen und
kreativen Niveau. Die Debatte uber die unversoehnlichen Ansichten
versiegte allmahlich und inzwischen ist wieder relative Ruhe in die
Gemeinde der Mathematiker eingekehrt. Zentrale philosophische
Fragen aber, die damals die Protagonisten spalteten, sind nach wie
vor unbeantwortet. Die Suche nach dem Wesen der Mathematik geht
weiter und greift auf die Ideen dieser Kontroversen zuruck.
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