The German edition of this book, first published in 1966, has been quite popular; we did not, however, consider publishing an English edition because a number of excellent textbooks in this field already exist. In recent years, how ever, the wish was frequently expressed that, especially, the description of the relationships between optimization and other subfields of mathematics, which is not to be found in this form in other texts, might be made available to a wider readership; so it was with this in mind that, be latedly, a translation was undertaken after all. Since the appearance of the German edition, the field of optimization has continued to develop at an unabated rate. A completely current presentation would have required a total reworking of the book; unfortunately, this was not possible. For example, we had to ignore the extensive progress which has been made in the development of numerical methods which do not require convexity assumptions to find local maxima and minima of non-linear optimization problems. These methods are also applicable to boundary value, and other, problems. Many new results, both of a numerical and a theoretical na ture, which are especially relevant to applications, are to be found in the areas of optimal contol and integer optimiza tion."

Der vorliegende Band gibt hauptsachlich Vortrage wieder, die in der Zeit vom 23. bis 27. Februar 1976 auf einem am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach abgehaltenen Kolloquium uber "Optimierung bei graphentheo- retischen und ganzzahligen Problemen" gehalten wurden. Die Tagung war einem aktuellen und in neuerer Zeit in der Literatur viel behandelten Teilge- biet der Optimierung gewidmet. Die graphen theoretischen und ganzzahligen Optimierungsprobleme sind, wie auch aus den 19 Vortragen hervorging, fur viele Anwendungen in Wirtschaft und Technik von Bedeutung, geben aber auch Anlass zu interessanten theoretischen Untersuchungen. Auch uber Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Methoden konnte berichtet werden, vor allem im Zusammenhang mit der Komplexitat von Algorithmen. So hoffen die Unterzeichner, dass die Tagung dazu beigetragen hat, den Kontakt zwischen mathematischer Theorie und Anwendungsgebieten wieder etwas starker zu beleben. Die 42 Teilnehmer aus dem In-und Ausland, darunter eine groessere Gruppe aus den Niederlanden und einige eigens zu dieser Tagung aus Amerika angereiste Kollegen, haben in Vortragen und Diskussionen viele wertvolle Informationen austauschen koennen. Der Institutsleitung gebuhrt fur diese Gelegenheit der wissenschaftlichen Begegnung der Dank aller Teilnehmer. W. WETTERLING L. COLLATZ G. MEINARDUS (Siegen) (Enschede) (Hamburg) Inhaltsverzeichnis R.E. BURKARD - H. HAMACHER - U. ZIMMERMANN: Flussprobleme mit allgemeinen Kosten ........................... 9 L. COLLATZ: Graphen bei Ornamenten und Verzweigungsdiagrammen . . . . . . . . . . 23 . . B. DEJON: Bestimmung von r kurzesten Wegen in Netzwerken unter Nebenbed- gungen: Verfahren vom Hoffman-Pavley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 . . . . . R. HALIN: Systeme disjunkter unendlicher Wege in Graphen .................. 55 P.L. HAMMER: Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 . . . . .

Am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach fand in der Zeit vom 14. bis 20. November 1971 eine Tagung uber unter der Leitung der Unterzeichneten statt. Seit der vorangegangenen Tagung im Sommer 1967 ist es gelungen, weitere Problem klassen der numerischen Behandlung zuganglich zu machen. Trotzdem sind nach wie vor viele Fragen offen. In dem vielseitigen Vortragsprogramm wurde vor allem uber Methoden bei verschiedenen Aufgabentypen (Transportprobleme, gemischt ganzzahlige Probleme, stochastische Optimierungsaufgaben, Kontrollprobleme usw.) bt!- richtet. Besondere Beachtung fanden die Vortrage uber Dualitat und deren Bedeu- tung fur Existenz- und Stetigkeitsaussagen und fur die numerische Einschlies- sung des Optimal wertes. In einer Diskussionsstunde hatten die Tagungsteilnehmer Gelegenheit, auf offene Probleme hinzuweisen und Anregungen zu geben. Die wichtigsten Dis- kussionspunkte waren: 1. Viele der bekannten Methoden fur Optimierungsaufgaben, die ja haufig nicht von Numerikern entwickelt worden sind, mussten genauer als bisher auf ihre numerische Brauchbarkeit uberpruft und evtl. verbessert werden. 2. Bei iterativen Verfahren ist haufig das Aufsuchen einer Ausgangsnaherung viel muhsamer als das Verfahren selbst. Bei der Entwicklung von nume- rischen Methoden sollte man das beachten. 3. Fur ganzzahlige Optimierungsaufgaben sind einige neue (asymptotische) Methoden bekanntgeworden. Trotzdem bleibt die typische Schwierigkeit, dass der Rechenaufwand nicht durch eine nur von der Dimension des Pro- blems abhangende Schranke begrenzt ist.

triebswirtschaftslehre. Es zeigte sich ferner, daB Fragen aus sehr verschie den en Teilen der numerischen Mathematik sich dem Problemkreis der Optimierung unterordnen; so fiihren viele Typen von Anfangswert-und Randwertaufgaben bei gewohnlichen und partiellen Differentialgleichun gen, Approximationsaufgaben, spieltheoretische Fragen und vieles andere auf Optimierungsaufgaben. Der wachsenden Bedeutung dieses Gebietes entsprechend, sind in letzter Zeit eine Anzahl Lehrbiicher erschienen, so daB man nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen wird. Nun beschaftigen sich die meisten der vorhandenen Lehrbiicher mit Teilgebie ten, z. B. mit linearer oder mit nichtlinearer Optimierung (oder "Pro gramming"), mit Spieltheorie usw. So war es die Absicht dieses Buches, einen gewissen Oberblick tiber das gesamte Gebiet zu vermitteln und dabei besonders auch die Zusammenhange und Querverbindungen zwi schen den verschiedenen oben bereits genannten Gebieten darzustellen. Da wir auBerdem den Eindruck haben, daB selbst in Mathematiker Kreisen diese neuen Gebiete, z. B. die schon en allgemeinen Satze tiber Systeme von Gleichungen und Ungleichungen, noch nicht allgemein bekannt geworden sind, wollten wir mit diesem Buche eine allgemeine, leichtfaBliche und auch dem Praktiker verstandliche Einftihrung in dieses vielgestaltige Gebiet mit vollstandigen Herleitungen geben, ohne jedoch allzusehr auf die Einzelheiten der rechnerischen Durchftihrung einzu gehen. Auch konnten verschiedene weitergehende Fragen, wie z. B. die Theorie der optimalen Prozesse (nach PONTRJAGIN) und die dynamische Optimierung (nach BELLMAN) nicht besprochen werden. Das Buch ist aus verschiedenen Vorlesungen der Verfasser an der Universitat Hamburg entstanden."