1. Innere Produkte Wir fUhren im Ramne ein kartesisches Koordinatensystem ein, dessen Achsen so orientiert sind, wie das in der Fig. 1 angedeutet ist. Die drei Koordinaten eines Punktes bezeichnen wir mit XI, X, x - Alle betrach- 2 3 teten Punkte setzen wir, falls nicht ausdrucklich etwas anderes gesagt wird, als reell voraus. Xz Xl Fig.1. Zwei in bestimmter Reihenfolge angeordnete Punkte und t) des Raumes mit den Koordinaten XI' X, x3 und YI' Y2, Y3 bestimmen eine 2 von nach t) fuhrende gerichtete Strecke. Zwei zu den Punktepaaren, t) und i, gehOrende gerichtete Strecken sind dann und nur dann gleichsinnig parallel und gleich lang, wenn die entsprechenden Koordi- natendifferenzen alle ubereinstimmen: (1) Yi - Xi = Yi - Xi (i = 1, 2, 3). Wir bezeichnen das System aller von den samtlichen Punkten des Rau- mes auslaufenden gerichteten Strecken von einer und derselben Rich- tung, demselben Sinn und der gleichen Lange als einen Vektor. Da fUr diese Strecken die Koordinatendifferenzen der beiden Endpunkte immer die gleichen sind, k6nnen wir diese drei Differenzen dem Vektor als seine 2 Einleitung Komponenten zuordnen, und zwar entsprechen die verschiedenen Systeme der als Vektorkomponenten genommenen Zahlentripel eineindeutig den verschiedenen Vektoren. An den Vektoren ist bemerkenswert, daB ihre Komponenten sich bei einer Parallelverschiebung des Koordinaten- systems nicht andern im Gegensatz zu den Koordinaten der Punkte.

Kleins gruppentheoretischer Aufbau der Geometrie, wie er ihn zuerst 1872 in seinem "Erlanger Programm" entworfen und dann 1893 in seiner "Einleitung in die hohere Geometrie" naher ausgefUhrt hat, ist fUr die Weiterentwicklung der Geometrie, ja auch der Physik heute so wichtig und lebendig als je. So wird vielleicht manchem eine Neuausgabe dieser Vorlesungen willkommen sein. Ich habe, urn den personlichen Eindruck von Kleins Werk nicht zu verwischen, an dem frtiheren "ersten Band" nur wenig geandert und nur wenig hinzugefUgt. Hingegen habe ich den damit nur lose zusammenhangenden "zweiten Band," der eine Ein ftihrung in die Lehre von den stetigen und unstetigen Gruppen enthielt und eine vollige Umarbeitung notig gemacht hatte, weggelassen. An seine Stelle ist der "dritte Hauptteil" des vorliegenden Buches getreten, in dem einige neuere geometrische Untersuchungen dargestellt werden. Dabei haben mich mehrere befreundete Geometer untersttitzt: die Teile II und IV stammen von J. Radon (Erlangen), III im wesentlichen von E. Art n und V von O. Schreier (Hamburg). AuBer diesen Kollegen habe ich fUr vielfache Hilfe noch zu danken den Herren L. Berwald (Prag), E. Bompiani (Bologna), H. Schatz und G. Thomsen (Hamburg). Hamburg, im Frtihjahr 1926. W. Blaschke. Inhaltsverzeichnis. Einleitung 1 1. Allgemeine Vorbemerkungen . . . . . 2 1,1. Funktionentheoretische Grundbegriffe. 2 1,2. Haupteinteilung der Geometrie 4 1,3. Nahere Ausfiihrung hierzu 4 Erster Hauptteil. Der allgemeine Koordinatenbegriff. Punktkoordinaten . 11 2. Linearkoordinaten . . . . . . 11 3. Pluckers Entwicklungen . . . 15 4."

Diese.s Lehrbuch schlie13t sich zwei Vorbildern an, namlich an K. F. Gau13 und an E. Cartan. Wie bei Gau13 werden die inneren EigenS

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Wer fahig ist, schafft, wer unfahig ist, lehrt. B. Shaw, Mensch und Obermensch. Erstens, zur Abschrift fiir Besprecher. Wahrend im ersten Bandchen dieses Lehrbuchs - von kleinen Seitenspriingen abgesehen - ausgetretene und wohlmarkierte Wege begangen wurden, wird hier der Versuch gewagt, einen neuen Pfad zu beschreiten. Es werden soIche Eigenschaften der Figuren untersucht, die gegeniiber Affinitaten, das heiBt Kollineationen mit Erhaltung des Parallelismus. invariant sind. Dabei handelt es sich in der Hauptsache um differentialgeometrische Eigenschaften und urn Aufgaben iiber Extreme, also Beispiele zur Variationsrechnung. Wir hoffen zeigen zu konnen: Der klassischen Differentialgeometrie weitgehend ahnlich laBt sich eine affine Differentialgeometrie aufbauen, die sich, was Buntheit ihrer Hilfsmittel und Ergebnisse angeht, neb en der klassischen sehen lassen kann und ein weites Feld lohnender Untersuchungen darbietet. Zweitens, Winke fiir Leser. Wir haben versucht, die einzelnen Teile dieses aus Hamburger Vorlesungen entstandenen Buches moglichst unabhangig zu gestalten. Man kann sich also darauf beschranken, mittels der ausfiihrlichen Verzeichnisse einzelne Rosinen herauszuholen. Insbesondere ist die Flachentheorie ohne Kenntnis der vorausgehenden Untersuchungen iiber Kurven lesbar, und wer das Allgemeine liebt, kann im fiinften Kapitel gleich mit den Tensoren beginnen. Der Liebhaber des Speziellen sei insbesondere auf die Aufgaben verwiesen, die jedem Kapitel beigegeben sind. Drittens, Ehrenbezeugungen. Die erste, ehrfurchtsvollste Verbeugung Herrn F. Klein Von ihm stammt die auf dem Begriff der stetigen Transformationsgruppen beruhende geometrische Denkart, die allem Folgenden zugrunde liegt.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.