The geometric and algebraic aspects of two-dimensional homotopy theory are both important areas of current research. Basic work on two-dimensional homotopy theory dates back to Reidemeister and Whitehead. The contributors to this book consider the current state of research beginning with introductory chapters on low-dimensional topology and covering crossmodules, Peiffer-Reid identities, and concretely discussing P2 theory. The chapters have been skillfully woven together to form a coherent picture, and the geometric nature of the subject is illustrated by over 100 diagrams. The final chapters round off neatly with a look at the present status of the conjectures of Zeeman, Whitehead and Andrews-Curtis.

Obwohl noch nie so viele Daten uber die Welt zur Verfugung standen wie heute, wird die Wirklichkeit immer undurchsichtiger. Sie prasentiert sich als Ansamm lung voneinander getrennter Einzelbereiche, schon geordnet nach Ressorts und Fachbereichen und damit zu Bruchstucken auseinandergerissen. Ihrem Wesen nach ist die Realitat jedoch ein vernetztes System, in dem es oft weniger auf jene Einzelbereiche ankommt als auf die Beziehungen zwischen ihnen. Damit ist ein Ziel dieses Buches angesprochen: Es fasst die Wirklichkeit auf als dynamisches Wechselspiel zwischen Zustanden und Flussen. Und mit Hilfe dieser beiden Bau steine - Zustande und Zustandsanderungen (Flusse) - werden Ausschnitte aus der Wirklichkeit modellhaft als vernetzte Systeme dargestellt. Die Gute derartiger Modelle misst sich in der Regel daran, wie gut sie die realen Bewegungen simulieren, das heisst nachahmen. Das zweite Anliegen ist daher die Analyse der Dynamiken dieser Modelle, das heisst ihres Losungsverhaltens in Ab hangigkeit von der Zeit. Die Dynamiken naturlicher Systeme sind in der Regel periodisch und nicht linear. Sie ergeben sich aus der Verknupfung einfacher Rhythmen wie Geborenwerden und Sterben oder Tag und Nacht. Am Beginn des Buches steht eine anschauliche Einfuhrung in die ModelIierung dynamischer Vorgange mit Hilfe von Zustanden und Flussen. Am Beispiel eines "Weltmodells" wird ein Arbeitskonzept vorgestellt, welches den Leser von einer umgangssprachlichen Problembeschreibung hinfuhrt zur mathematischen Darstel lung des Problems als Differential- bzw. Differenzengleichungssystem."

Keine einfache Antwort kann es nach B. ULRICH (LOELF 1982) auf die Frage geben: "Lasst sich Schadigung beweisen? - Wie werden Waldoekosysteme durch Deposition und Akkumulation von Luftverunreinigungen geschadigt?" "Das Waldoekosystem besteht nicht nur aus Baumen, die groesste Artenvielfalt liegt vielmehr bei den im Boden lebenden Mikroorganismen und Tieren vor, deren Aufgabe im oekosystem die Recyclierung der von den Pflanzen gebildeten Biomasse ist. Die einzelnen Glieder eines Waldoekosystems sind so eng mitein- ander vernetzt und aufeinander angewiesen, dass man nicht eines verandern oder schadigen kann, ohne damit auch andere zu beeinflussen" (a. a. O., S. 9). "Am Anfang objektiver Erkenntnis", so fahrt ULRICH fort, "steht also nicht das Experiment, sondern die Beobachtung und der Entwurf eines ganzheitlichen Bildes, in dem alles vorhandene Wissen und alle Beobachtungen integriert sind. Die Beobachtungen mussen sich auf das gesamte oekosystem erstrecken, also nicht nur auf die oberirdischen Baumteile oder gar nur auf den Zu- wachs, sondern auch auf die Wurzeln, auf die Mikroorganismen und auf die an der Zersetzung beteiligte Tiergemeinschaft. Ein Geschehen von der Kom- plexitat der Schadigung eines Waldoekosystems kann grundsatzlich nicht be- wiesen werden, weil weder die Kausalkette im einzelnen nachvollzogen werden kann (analytischer Beweis (AEnderung durch d. Hrsg. )) noch die simpelste Voraussetzung eines experimentellen naturwissenschaftlichen Beweises ge- geben ist: die beliebige Wiederholbarkeit (statistischer Wahrscheinlich- keitsbeweis). " 2 Die Lange dieses Eingangszitates ist ungewoehnlich.

This volume presents the current state of knowledge in all aspects of two-dimensional homotopy theory. Building on the foundations laid a quarter of a century ago in the volume Two-dimensional Homotopy and Combinatorial Group Theory (LMS 197), the editors here bring together much remarkable progress that has been obtained in the intervening years. And while the fundamental open questions, such as the Andrews-Curtis Conjecture and the Whitehead asphericity problem remain to be (fully) solved, this book will provide both students and experts with an overview of the state of the art and work in progress. Ample references are included to the LMS 197 volume, as well as a comprehensive bibliography bringing matters entirely up to date.