Unlike some other reproductions of classic texts (1) We have not used OCR(Optical Character Recognition), as this leads to bad quality books with introduced typos. (2) In books where there are images such as portraits, maps, sketches etc We have endeavoured to keep the quality of these images, so they represent accurately the original artefact. Although occasionally there may be certain imperfections with these old texts, we feel they deserve to be made available for future generations to enjoy.

Unlike some other reproductions of classic texts (1) We have not used OCR(Optical Character Recognition), as this leads to bad quality books with introduced typos. (2) In books where there are images such as portraits, maps, sketches etc We have endeavoured to keep the quality of these images, so they represent accurately the original artefact. Although occasionally there may be certain imperfections with these old texts, we feel they deserve to be made available for future generations to enjoy.

This book presents William Clifford's English translation of Bernhard Riemann's classic text together with detailed mathematical, historical and philosophical commentary. The basic concepts and ideas, as well as their mathematical background, are provided, putting Riemann's reasoning into the more general and systematic perspective achieved by later mathematicians and physicists (including Helmholtz, Ricci, Weyl, and Einstein) on the basis of his seminal ideas. Following a historical introduction that positions Riemann's work in the context of his times, the history of the concept of space in philosophy, physics and mathematics is systematically presented. A subsequent chapter on the reception and influence of the text accompanies the reader from Riemann's times to contemporary research. Not only mathematicians and historians of the mathematical sciences, but also readers from other disciplines or those with an interest in physics or philosophy will find this work both appealing and insightful.

Great mathematicians write for the future and Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66) was one of the greatest mathematicians of all time. Edited by Heinrich Martin Weber, with assistance from Richard Dedekind, this edition of his collected works in German first appeared in 1876. Riemann's interests ranged from pure mathematics to mathematical physics. He wrote a short paper on number theory which provided the key to the prime number theorem, and his zeta hypothesis has given mathematicians the most famous of today's unsolved problems. Moreover, his famous 1854 lecture 'On the hypotheses which underlie geometry' set in motion studies which culminated in Einstein's general theory of relativity. Even Riemann's over-optimistic use of the Dirichlet principle to prove the conformal mapping theorem turned out to be immensely fruitful. The alert reader will further profit from finding here the seeds of modern distribution theory, algebraic topology and measure theory.

Bernhard Riemanns Werk hat bis heute wesentlichen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik genommen. Seine Ideen sind uberraschend modern und pragen die heutige mathematische Forschung. Die Gesammelten Abhandlungen (1892) samt Supplement von 1902 waren seit langer Zeit vergriffen. R. Narasimhan hat die muhevolle Edition dieser Neuausgabe ubernommen. Es koennen nur einige Hoehepunkte genannt werden: - H. Weils Kommentare uber Riemanns Habilitationsschrift - C.L. Siegel uber Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie - W. Wirtingers beruhmter Vortrag beim internationalen Mathematikerkongress Heidelberg 1904 uber Riemanns Vorlesungen uber die hypergeometrische Reihe. Neben diesen historischen Wurdigungen von Riemanns Werk gibt es aktuelle Beitrage, insbesondere zur Mechanik und uber "shock waves" von S. Chandrasekhar, N. Lebovitz und P. Lax. Raghavan Narasimhan gibt in einer ausfuhrlichen Einleitung eine Wurdigung, insbesondere des funktionentheoretischen Werks von Bernhard Riemann. Ferner sind Fotos und zahlreiche Nachtrage zum Lebenslauf aufgenommen worden. Eine Bibliographie mit mehr als 800 Literaturstellen erarbeitet von E. Neuenschwander und W. Purkert rundet diese Werkausgabe ab.

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jurgen Jost ausfuhrlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben."

Aus Riemanns Vorlesungen uber partielle Differentialgleichungen ist im Laufe der Zeit ein umfassendes zweibandiges Werk hervor gegangen, an dem viele Bearbeiter mitgewirkt haben. Die ursprung liche Ausgabe dieser Vorlesungen nimmt sich daneben recht be scheiden aus. Dennoch haben Ingenieure und Physiker immer wieder nach dem langst vergriffenen Buche verlangt, mit Recht, denn es ist ein Werk, in dem R i e man n seine Horer in vortrefflicher Weise in die mathematischen Kerngedanken einfuhrt und mit den Losungs methoden vertraut macht. Dem Anfanger bietet sich auch heute kaum ein bequemerer Zugang in das Gebiet. So mogen Riemanns Vorlesungen aufs neue ihre alte Kraft bewahren. Sie werden eine Zierde jeder Buchersammlung sein. Fritz Emde. Vorrede zur ersten Auflage. Die Vorlesungen uber partielle Differentialgleichungen, welche ich hiermit der Oeffentlichkeit ubergebe, sind von Riemann wahrend seiner akademischen Thatigkeit in Gottingen gehalten, und zwar im Winter 1854/55, im Winter 1860/61 und im Sommer 1862. Ueber den grossten Theil derselben findet sich neben einer Reihe kurzerer Notizen eine zusammenhangende Ausarbeitung von Riemann's eigener Hand vor. Dieselbe ist allerdings in der Form, in welcher sie vorliegt, nicht zur Veroffentlichung bestimmt gewesen. Man hat sie vielmehr als sorgfaltige Vorbereitung fur den mundlichen Vortrag anzusehen. Danach wurde man durchaus gegen Riemann's Absicht gehandelt haben, wenn man seine Ausarbeitung wortlich hatte zum Abdruck bringen wollen. Doch ist dieselbe fur die Heraus gabe von grosser Wichtigkeit, insofern der Gedankengang und die Entwicklung der Formeln fast durchweg beibehalten werden konnte und musste."