The theory of Markov chains, although a special case of Markov processes, is here developed for its own sake and presented on its own merits. In general, the hypothesis of a denumerable state space, which is the defining hypothesis of what we call a "chain" here, generates more clear-cut questions and demands more precise and definitive an swers. For example, the principal limit theorem ( 1. 6, II. 10), still the object of research for general Markov processes, is here in its neat final form; and the strong Markov property ( 11. 9) is here always applicable. While probability theory has advanced far enough that a degree of sophistication is needed even in the limited context of this book, it is still possible here to keep the proportion of definitions to theorems relatively low. . From the standpoint of the general theory of stochastic processes, a continuous parameter Markov chain appears to be the first essentially discontinuous process that has been studied in some detail. It is common that the sample functions of such a chain have discontinuities worse than jumps, and these baser discontinuities play a central role in the theory, of which the mystery remains to be completely unraveled. In this connection the basic concepts of separability and measurability, which are usually applied only at an early stage of the discussion to establish a certain smoothness of the sample functions, are here applied constantly as indispensable tools.

Das Fundament, auf dem das Gebaude der hoheren Analysis ruht, ist die Lehre von den reellen Zahlen. Unausweichlich hat jede strenge Behandlung der Grundlagen der Differential- und Integralrechnung und der anschlieBenden Gebiete, ja selbst schon die strenge Behand- lung etwa der Wurzel-oder Logarithmenrechnung hier ihren Ausgangs- punkt zu nehmen. Sie erst schafft das Material. in dem dann Arithmetik und Analysis fast ausschlieBlich arbeiten, mit dem sie bauen konnen. Nicht von jeher war das Geftihl flir diese Notwendigkeit vorhanden. Die groBen Schopfer der Infinitesimalrechnung - LEIBNIZ und NEWfONl - und die nicht weniger groBen Ausgestalter derselben, 2 unter denen vor aHem EULER zu nennen ist, waren zu berauscht von dem gewaltigen Erkenntnisstrom, der aus den neu erschlossenen Quellen floB, als daB sie sich zu einer Kritik der Grundlagen veranlaBt fiihlten. Der Erfolg der neuen Methode war ihnen eine hinreichende Gewlihr fUr die Tragfestigkeit ihres Fundamentes. Erst als jener Strom abzuebben begann, wagte sich die kritische Analyse an die Grund- begriffe: etwa urn die Wende des 18. Jahrhunderts, vor aHem unter 3 dem machtigen EinfluB von GAUSS wurden solche Bestrebungen starker und sHirker. Aber es wahrte noch fast ein Jahrhundert, ehe hier die wesentlichsten Dinge als vollig geklart angesehen werden durften.

Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un- abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver- mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk- tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent- wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un- tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.

Diese.s Lehrbuch schlie13t sich zwei Vorbildern an, namlich an K. F. Gau13 und an E. Cartan. Wie bei Gau13 werden die inneren EigenS

In einem vor dem Mathematischen Reichsverband in Dlisseldorf 1926 gehaltenen Vortrag! entwickelte OTTO TOEPLITZ seine Ideen uber eine neue Methode, die bekannten Schwierigkeiten der Vorlesung uber Infini- tesimalrechnung zu uberwinden. Er nennt seine Methode die genetische. Ich fuhre seine eigenen Worte an: "Ich sagte mir: alle diese Gegen- stande der Infinitesimalrechnung, die heute als kanonisierte Requisiten gelehrt werden, der Mittelwertsatz, die Taylorsche R, eihe, der Konver- genzbegriff, das bestimmte Integral, vor allem der Differentialquotient selbst, und bei denen nirgends die Frage beruhrt wird: warum so? wie kommt man zu ihnep ? alle diese Requisiten also mussen doch ein- mal Objekte eines spannenden Suchens, einer aufregenden Handlung gewesen sein, namlich damals, als sie geschaffen wurden. Wenn man an diese Wurzeln der Begriffe zuruckginge, wurde der Staub der Zeiten, die Schrammen langer Abnutzung von ihnen abfallen, und sie wurden wieder als lebensvolle Wesen vor uns erstehen. " Er will dem jungen Studenten, der wissen moechte, inwiefern die Mathematik spannend, inwiefern sie schoen ist, die Entdeckungen in ihrer ganzen Dramatik vorfuhren und so die Fragestellungen, Begriffe und- Tatsachen vor ihm entstehen lassen. Er moechte seine Methode nicht als eine historische Methode bezeichnet wissen. "Der Historiker, auch der der Mathematik, hat die Aufgabe, alles Gewesene zu registrie- ren, ob es gut war oder schlecht. Ich will aus der Historie nur die Motive fur die Dinge, die sich hernach bewahrt haben, herausgreifen und will sie direkt oder indirekt verwerten.