Important results on the Hilbert modular group and Hilbert modular forms are introduced and described in this book. In recent times, this branch of number theory has been given more and more attention and thus the need for a comprehensive presentation of these results, previously scattered in research journal papers, has become obvious. The main aim of this book is to give a description of the singular cohomology and its Hodge decomposition including explicit formulae. The author has succeeded in giving proofs which are both elementary and complete. The book contains an introduction to Hilbert modular forms, reduction theory, the trace formula and Shimizu's formulae, the work of Matsushima and Shimura, analytic continuation of Eisenstein series, the cohomology and its Hodge decomposition. Basic facts about algebraic numbers, integration, alternating differential forms and Hodge theory are included in convenient appendices so that the book can be used by students with a knowledge of complex analysis (one variable) and algebra.

Some years ago a conference on l-adic cohomology in Oberwolfach was held with the aim of reaching an understanding of Deligne's proof of the Weil conjec tures. For the convenience of the speakers the present authors - who were also the organisers of that meeting - prepared short notes containing the central definitions and ideas of the proofs. The unexpected interest for these notes and the various suggestions to publish them encouraged us to work somewhat more on them and fill out the gaps. Our aim was to develop the theory in as self contained and as short a manner as possible. We intended especially to provide a complete introduction to etale and l-adic cohomology theory including the monodromy theory of Lefschetz pencils. Of course, all the central ideas are due to the people who created the theory, especially Grothendieck and Deligne. The main references are the SGA-notes 64-69]. With the kind permission of Professor J. A. Dieudonne we have included in the book that finally resulted his excellent notes on the history of the Weil conjectures, as a second introduction. Our original notes were written in German. However, we finally followed the recommendation made variously to publish the book in English. We had the good fortune that Professor W. Waterhouse and his wife Betty agreed to translate our manuscript. We want to thank them very warmly for their willing involvement in such a tedious task. We are very grateful to the staff of Springer-Verlag for their careful work."

Important results on the Hilbert modular group and Hilbert modular forms are introduced and described in this book. In recent times, this branch of number theory has been given more and more attention and thus the need for a comprehensive presentation of these results, previously scattered in research journal papers, has become obvious. The main aim of this book is to give a description of the singular cohomology and its Hodge decomposition including explicit formulae. The author has succeeded in giving proofs which are both elementary and complete. The book contains an introduction to Hilbert modular forms, reduction theory, the trace formula and Shimizu's formulae, the work of Matsushima and Shimura, analytic continuation of Eisenstein series, the cohomology and its Hodge decomposition. Basic facts about algebraic numbers, integration, alternating differential forms and Hodge theory are included in convenient appendices so that the book can be used by students with a knowledge of complex analysis (one variable) and algebra.

All needed notions are developed within the book: with the exception of fundamentals which are presented in introductory lectures, no other knowledge is assumed

Provides a more in-depth introduction to the subject than other existing books in this area

Over 400 exercises including hints for solutions are included

This research monograph reports on recent work on the theory of singular Siegel modular forms of arbitrary level. Singular modular forms are represented as linear combinations of theta series. The reader is assumed toknow only the basic theory of Siegel modular forms.

Das Buch bietet eine vollstandige Darstellung der Funktionentheorie, beginnend mit der Theorie der Riemann`schen Flachen einschliesslich Uniformisierungstheorie sowie einer ausfuhrlichen Darstellung der Theorie der kompakten Riemann`schen Flachen, Riemann-Roch`schem Satz, Abel`schem Theorem und Jacobi`schem Umkehrtheorem. Hierdurch motiviert wird eine kurze Einfuhrung in die Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher gegeben und dann die Theorie der Abel`schen Funktionen bis hin zum Thetasatz entwickelt. Daran anschliessend und hierdurch motiviert wird eine Einfuhrung in die Theorie der hoeheren Modulfunktionen gegeben.

Im Fruhjahr 1976 hatte ich Gelegenheit, am "Ce/ure for Advanced Study in M athematics" in Chandigarh eine Vorlesung uber Siegelsehe Modulfunktionen zu halten. Diese Vorlesung wurde von Dr. Sunder LaI ausgearbeitet. Das erste Kapitel dieses Buches stutzt sich weitge- hend auf diese Ausarbeitung. Der Inhalt des zweiten Kapitels - die Satakekompaktifizierun- war das Thema einer gemeinsamen Arbc-itsgemeinschaft im -Jahre 1977 der mathematischen Institute Heidelberg und Mannheim unter Leitung von Prof. R. Kiehl. Das dritte Kapitel war wohl bislang am schlechtesten zuganglich. Ein Hoehepunkt dieses Kapitels ist der Satz von Dr. Y. Tai, dass der Koerper der Siegelsehen Modulfunktionen n-ten Grades fast immer von allgemeinem Typ ist. Tais Beweis fur diesen Satz teilte mir Prof. D. Mumford wahrend meines Gastaufenthaltes an der Harvard-Uni- versitat (1981) mit. Das letzte Kapitel uber Heckeoperatoren wurde angeregt durch einen Gastavfenthalt von Prof. A. Andrianov am Heidelberger mathe- matischen Institut im Jahre 1980. Den genannten Kollegen gilt mein herzlicher Dank; ebenso den Herren R. Endres und Dr. R. Weissauer, welche eine Fulle von Feh- lern in dem ursprunglichen Manuskript aufgespurt haben und schliess- lich Fraulein von Stiernberg, welche ein schlecht leserliches Manu- skript in Maschinenschrift ubertragen hat.

Die ersten vier Kapitel dieser Darstellung der klassischen Funktionentheorie vermitteln mit minimalem Begriffsaufwand und auf geringen Vorkenntnissen aufbauend zentrale Ergebnisse und Methoden der komplexen Analysis einer Veranderlichen und gipfeln in einem Beweis des kleinen Riemannschen Abbildungssatzes und einer Charakterisierung einfach zusammenhangender Gebiete. Weiter werden behandelt: Elliptische Funktionen (Weierstrassscher und Jacobischer Ansatz), die elementare Theorie der Modulformen einer Variablen, Anwendungen der Funktionentheorie auf die Zahlentheorie (einschliesslich eines Beweises des Primzahlsatzes).

Die optisch ubersichtliche Aufbereitung und uber vierhundert Ubungsaufgaben von unterschiedlichstem Schwierigkeitsgrad mit Losungshinweisen machen den Band auch zur Prufungsvorbereitung und zum Selbststudium fur Mathematiker und Physiker gut geeignet.

In der vorliegende vierten Auflage wurden u.a. einige Textstellen uberarbeitet und neue Ubungsaufgaben aufgenommen."