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The theory of Markov chains, although a special case of Markov
processes, is here developed for its own sake and presented on its
own merits. In general, the hypothesis of a denumerable state
space, which is the defining hypothesis of what we call a "chain"
here, generates more clear-cut questions and demands more precise
and definitive an swers. For example, the principal limit theorem (
1. 6, II. 10), still the object of research for general Markov
processes, is here in its neat final form; and the strong Markov
property ( 11. 9) is here always applicable. While probability
theory has advanced far enough that a degree of sophistication is
needed even in the limited context of this book, it is still
possible here to keep the proportion of definitions to theorems
relatively low. . From the standpoint of the general theory of
stochastic processes, a continuous parameter Markov chain appears
to be the first essentially discontinuous process that has been
studied in some detail. It is common that the sample functions of
such a chain have discontinuities worse than jumps, and these baser
discontinuities play a central role in the theory, of which the
mystery remains to be completely unraveled. In this connection the
basic concepts of separability and measurability, which are usually
applied only at an early stage of the discussion to establish a
certain smoothness of the sample functions, are here applied
constantly as indispensable tools.
Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die
von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine
Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen
in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen
Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht
werden, daB er eine wirklich vollstandig un- abhangig von den
vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie
vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den
neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver- mehrung des
Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929.
R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der
dritten Auflage ist die Theorie der Funk- tionen einer komplexen
Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent- wickelt worden,
vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion
in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen
Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un-
tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem
entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden
konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu
beeeintrachtigen.
Das Fundament, auf dem das Gebaude der hoheren Analysis ruht, ist
die Lehre von den reellen Zahlen. Unausweichlich hat jede strenge
Behandlung der Grundlagen der Differential- und Integralrechnung
und der anschlieBenden Gebiete, ja selbst schon die strenge Behand-
lung etwa der Wurzel-oder Logarithmenrechnung hier ihren Ausgangs-
punkt zu nehmen. Sie erst schafft das Material. in dem dann
Arithmetik und Analysis fast ausschlieBlich arbeiten, mit dem sie
bauen konnen. Nicht von jeher war das Geftihl flir diese
Notwendigkeit vorhanden. Die groBen Schopfer der
Infinitesimalrechnung - LEIBNIZ und NEWfONl - und die nicht weniger
groBen Ausgestalter derselben, 2 unter denen vor aHem EULER zu
nennen ist, waren zu berauscht von dem gewaltigen Erkenntnisstrom,
der aus den neu erschlossenen Quellen floB, als daB sie sich zu
einer Kritik der Grundlagen veranlaBt fiihlten. Der Erfolg der
neuen Methode war ihnen eine hinreichende Gewlihr fUr die
Tragfestigkeit ihres Fundamentes. Erst als jener Strom abzuebben
begann, wagte sich die kritische Analyse an die Grund- begriffe:
etwa urn die Wende des 18. Jahrhunderts, vor aHem unter 3 dem
machtigen EinfluB von GAUSS wurden solche Bestrebungen starker und
sHirker. Aber es wahrte noch fast ein Jahrhundert, ehe hier die
wesentlichsten Dinge als vollig geklart angesehen werden durften.
Diese.s Lehrbuch schlie13t sich zwei Vorbildern an, namlich an K.
F. Gau13 und an E. Cartan. Wie bei Gau13 werden die inneren EigenS
In einem vor dem Mathematischen Reichsverband in Dlisseldorf 1926
gehaltenen Vortrag! entwickelte OTTO TOEPLITZ seine Ideen uber eine
neue Methode, die bekannten Schwierigkeiten der Vorlesung uber
Infini- tesimalrechnung zu uberwinden. Er nennt seine Methode die
genetische. Ich fuhre seine eigenen Worte an: "Ich sagte mir: alle
diese Gegen- stande der Infinitesimalrechnung, die heute als
kanonisierte Requisiten gelehrt werden, der Mittelwertsatz, die
Taylorsche R, eihe, der Konver- genzbegriff, das bestimmte
Integral, vor allem der Differentialquotient selbst, und bei denen
nirgends die Frage beruhrt wird: warum so? wie kommt man zu ihnep ?
alle diese Requisiten also mussen doch ein- mal Objekte eines
spannenden Suchens, einer aufregenden Handlung gewesen sein,
namlich damals, als sie geschaffen wurden. Wenn man an diese
Wurzeln der Begriffe zuruckginge, wurde der Staub der Zeiten, die
Schrammen langer Abnutzung von ihnen abfallen, und sie wurden
wieder als lebensvolle Wesen vor uns erstehen. " Er will dem jungen
Studenten, der wissen moechte, inwiefern die Mathematik spannend,
inwiefern sie schoen ist, die Entdeckungen in ihrer ganzen Dramatik
vorfuhren und so die Fragestellungen, Begriffe und- Tatsachen vor
ihm entstehen lassen. Er moechte seine Methode nicht als eine
historische Methode bezeichnet wissen. "Der Historiker, auch der
der Mathematik, hat die Aufgabe, alles Gewesene zu registrie- ren,
ob es gut war oder schlecht. Ich will aus der Historie nur die
Motive fur die Dinge, die sich hernach bewahrt haben, herausgreifen
und will sie direkt oder indirekt verwerten.
Die Entwicklung der Ozeanographie ist dank der Fortschritte meeres
kundlicher Messungen und der Bearbeitungsmethoden ozeanographi
schen Beobachtungsmaterials bei jenem wichtigen Wendepunkt
angelangt, bei dem von der mehr beschreibenden Betrachtungsweise zu
einer stren geren Behandlung gesetzlicher Erscheinungen
ubergegangen werden kann. Die Ozeanographie folgt in dieser
fortschreitenden Entwicklung immer mehr ihrer Schwesterdisziplin,
der Meteorologie, die diesen Ubergang bei der Behandlung einzelner
Probleme schon in vielen Fallen erfolg reich durchgefUhrt hat. 1m
vorliegenden Buche habe ich versucht, eine Zusammenstellung unserer
Kenntnisse der Bewegungserscheinungen im Meere auf
theoretisch-physikalischer Grundlage zu geben. Einige Lucken, die
sich hierbei ergeben haben, habe ich versucht, auszufUllen. Die
Anfiinge zu dieser Arbeit reichen schon in die Zeit zuruck, als ich
an der Universitat Innsbruck im Verbande mit anderen
geophysikalischen Themen auch tiber Physik des Meeres Vorlesungen
hielt. Meine Berufung an das Institut und Museum fUr Meereskunde an
der Universitat Berlin, und meine Teilnahme an den letzten Profilen
der Deutschen Atlantischen Expedition auf dem Forschungsschiff
"Meteor" gaben mir Gelegenheit, mich noch eingehender mit diesen
Problem en der Ozeanographie zu be fassen. Letzten Endes waren es
die Vortrage, die ich fUr die wissen schaftlichen Teilnehmer und
fUr die Offiziere an Bord des "Meteor" hielt, die dazu fUhrten, die
hydrodynamischen Grundlagen der ozeanischen Bewegungen
durchzuarbeiten und ubersichtlich zusammenzustellen. Diese Vortrage
gaben so den Grundstock zu dieser "Dynamischen Ozeanographie.""
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